Question

【題目】已知，如圖，矩形中，，，菱形的三個頂點，，分別在矩形的邊，，上，，連接．

（1）若，求證四邊形為正方形；

（2）若，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）1

【解析】

(1)由于四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG=∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG=90°，易證四邊形HEFG為正方形；
(2)過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，由于AB//CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性質(zhì)有∠AEH=∠MGF，再結(jié)合∠A=∠M=90°，HE=FG，可證△AHE≌△MFG，從而有FM=HA=2，進而可求三角形面積.

解：(1)∵四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，
∴∠D=∠A=90°，HG=HE，又AH=DG=2，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH(HL)，
∴∠DHG=∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA=90°，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四邊形HEFG為正方形；

(2)過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，

∵AB//CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE//GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM=HA=2，即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2，
因此S△FCG=×FM×GC=×2×(76)=1.