Question

11．如圖，在△ABC中，∠C=90°，D在AB邊上，以BD為直徑的半圓與AC相切于點(diǎn)E，連接BE．
（1）試說明：BE平分∠ABC；
（2）若∠A=30°，⊙O的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得出OE⊥AC，即可證得OE∥BC，得出∠EBC=∠OEB，因?yàn)椤螼EB=∠OBE，證得∠OBE=∠EBC，得出結(jié)論；
（2）分別求得三角形AOE和扇形的面積，根據(jù)S陰影=S△AOE-S扇形ODE即可求得．

解答 （1）證明：連接OE，
∵半圓與AC相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴OE∥BC，
∴∠EBC=∠OEB，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OBE=∠EBC，
∴BE平分∠ABC；
（2）∵OE⊥AC，∠A=30°，⊙O的半徑為6，
∴OE=6，∠AOE=60°，
∴OA=2OE=12，
∴AE=$\sqrt{O{A}^{2}-O{E}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_△AOE-S_扇形ODE=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×6-$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$=18$\sqrt{3}$-6π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定依據(jù)扇形的面積等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．