Question

如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OABC，點C的坐標為（8，0），點B的坐標為（6，4）．
（1）求出過A，B，C三點的拋物線的表達式；
（2）點P從C點出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段CO向O點運動，同時點Q從A點出發(fā)以相同的速度沿線段AB向B點運動，其中一個動點到達端點時，另一個也隨之停止運動．設運動時間為t秒．當t為何值時，四邊形BCPQ為平行四邊形；
（3）若點M為直線AC上方的拋物線上一動點，當點M運動到什么位置時，△AMC的面積最大？求出此時M點的坐標和△AMC的最大面積．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的最值,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,平行四邊形的性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）易知點A的坐標為（0，4），用待定系數(shù)法就可求出過A，B，C三點的拋物線的表達式．
（2）若四邊形BCPQ為平行四邊形，則有BQ=CP，從而建立關于t的方程，就可求出t的值．
（3）過點M作x軸的垂線，交AC于點N，設點M的橫坐標為m，由S_△AMC=S_△AMN+S_△CMN=

1

2

MN•OC可以得到S_△AMC=-（m-4）²+16．然后利用二次函數(shù)的最值性就可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，
∵梯形OABC是直角梯形，點B的坐標為（6，4），
∴點A的坐標為（0，4）．
設過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+4，
則有

36a+6b+4=4 64a+8b+4=0

，
解得

a=- 1 4 b= 3 2

．
∴過A、B、C三點的拋物線的表達式為y=-

1

4

x2+

3

2

x+4．

（2）如圖2，
由題可得：BQ=6-t，CP=t．
當BQ∥CP且BQ=CP時，四邊形BCPQ為平行四邊形．
∴6-t=t．
解得：t=3．

（3）過點M作x軸的垂線，交AC于點N，如圖3，
設直線AC的解析式為y=kx+4，
則有8k+4=0．
解得：k=-

1

2

．
∴直線AC的解析式為y=-

1

2

x+4．
設點M的橫坐標為m，
則有y_M=-

1

4

m²+

3

2

m+4，y_N=-

1

2

m+4．
∴MN=y_M-y_N
=（-

1

4

m²+

3

2

m+4）-（-

1

2

m+4）
=-

1

4

m²+2m．
∴S_△AMC=S_△AMN+S_△CMN
=

1

2

MN•OC
=

1

2

×（-

1

4

m²+2m）×8
=-m²+8m
=-（m-4）²+16．（0＜m＜8）
∵-1＜0，
∴當m=4時，S_△AMC取到最大值，最大值為16，此時點M的坐標為（4，6）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值、平行四邊形的性質(zhì)等知識，有一定的綜合性．