Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交BC的延長線于點M，若∠A=40°．
（1）求∠NMB的度數(shù)；
（2）如果將（1）中∠A的度數(shù)改為70°，其余條件不變，再求∠NMB的度數(shù)；
（3）通過對（1）中和（2）中結(jié)果的分析，猜想∠NMB的度數(shù)與∠A的度數(shù)有怎樣的等量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（4）若將（1）中的∠A改為鈍角，在（3）中你猜想的結(jié)論是否仍然成立？

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）解法同（1）；
（3）設(shè)∠A=α，根據(jù)AB=AC可知∠B=∠C，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（4）證明過程與（3）相同．

解答：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

（180°-40°）=70°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°；

（2）解法同（1），可得∠NMB=35°；

（3）兩者關(guān)系為：∠NMB的度數(shù)等于頂角∠A度數(shù)的一半，
證明：設(shè)∠A=α，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

（180°-α），
∵∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-

1

2

（180°-α）=

1

2

α；

（4）將（1）中的∠A改為鈍角，（3）中猜想的結(jié)論結(jié)論仍然成立．

點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．