Question

如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC交DC的延長線于點E，BD=BE．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB=60°，AB=4，求四邊形ABED的面積．

Answer 1

考點：矩形的判定與性質,平行四邊形的性質

專題：

分析：（1）根據已知條件推知四邊形ABEC是平行四邊形，則對邊相等：AC=BE，依據等量代換得到對角線AC=BD，則平行四邊形ABCD是矩形；
（2）利用“矩形的對角線相等且相互平分”的性質、等邊三角形的判定定理得到△AOB是等邊三角形，則易求OB=AB=4，所以通過勾股定理求得BC的長度，再利用梯形的面積公式列式計算即可得解．

解答：（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD．
又∵點E在DC的延長線上，
∴AB∥CE．
又∵BE∥AC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴AC=BE．
又BD=BE，
∴AC=BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形；

（2）解：∵在矩形ABCD中，∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴BO=AB=4，
∴BD=2BO=2×4=8，
又∵四邊形ABEC是平行四邊形，
∴CE=AB=4，
∴DE=CD+CE=8，
在Rt△ABC中，BC=

BD2-CD2

=

82-42

=4

3

，
∴四邊形ABED的面積=

1

2

（4+8）×4

3

=24

3

．

點評：本題考查了矩形的對角線互相平分且相等的性質，平行四邊形的判定與性質，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟記性質是解題的關鍵．