Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，有下列結(jié)論：①二次函數(shù)的最小值為；②若，則；③若，則；④一元二次方程的兩個(gè)根為1和.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用交點(diǎn)式寫出拋物線解析式為y=ax2﹣2ax﹣3a，配成頂點(diǎn)式得y=a（x﹣1）2﹣4a，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；計(jì)算x=4時(shí)，y=a×5×1=5a，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用對(duì)稱軸和二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)③進(jìn)行判斷；由于b=﹣2a，c=﹣3a，則方程cx2+bx+a=0化為﹣3ax2﹣2ax+a=0，然后解方程可對(duì)④進(jìn)行判斷．

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、點(diǎn)B（3，0），

∴拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a= a（x﹣1）2﹣4a，

∴當(dāng)x=1時(shí)，二次函數(shù)有最小值﹣4a，故①正確；

當(dāng)x=4時(shí)，y=a×5×1=5a，

∴當(dāng)﹣1≤x2≤4，則﹣4a≤y2≤5a，所以②正確；

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、點(diǎn)B（3，0），

∴對(duì)稱軸為直線x=1，

∵拋物線開口向上，

∴x>1時(shí)，y隨x的增大而增大，

∵C（4，y1）,

∴，則，故③正確；

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、點(diǎn)B（3，0），

∴-1+3=-，-1×3=，

∴b=﹣2a，c=﹣3a，

∴方程cx2+bx+a=0化為﹣3ax2﹣2ax+a=0，

整理得3x2+2x﹣1=0，

解得x1=﹣1，x2=，故④錯(cuò)誤，

綜上所述：正確的結(jié)論有①②③，共3個(gè)，

故選C.