Question

4．如圖，直線l₁：y=x與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象c相交于點A（2，a），將直線l₁向上平移3個單位長度得到l₂，直線l₂與c相交于B，C兩點，（點B在第一象限），交y軸于點D．
（1）求反比例函數(shù)的表達式并寫出圖象為l₂的一次函數(shù)的表達式；
（2）求B，C兩點的坐標(biāo)并求△BOD的面積．

Answer 1

分析 （1）先把A（2，a）代入y=x可求出a確定A點坐標(biāo)，再把A點坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$中可求出k的值，從而得到反比例函數(shù)解析式，然后利用一次函數(shù)的幾何變換確定圖象為l₂的一次函數(shù)的表達式；
（2）通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=x+3\\ y=\frac{4}{x}\end{array}$可得B點和C點坐標(biāo)，再求出直線y=x+3與y軸的交點D的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式計算．

解答 解：（1）∵點A（2，a）在y=x上，
∴a=2，則A（2，2），
∵點A（2，2）在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2×2=4，
∴反比例函數(shù)的解析式是y=$\frac{4}{x}$；
將y=x向上平移3個單位，得l₂：y=x+3；
（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=x+3\\ y=\frac{4}{x}\end{array}$得$\left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-1\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4\end{array}$，
∴B（1，4），A（-4，-1），
當(dāng)x=0時，y=x+3=3，則D（0，3），
∴S_△OBD=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了三角形面積公式．