Question

2．如圖，直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3與x軸交于點(diǎn)A；若將拋物線y=$\frac{1}{3}$x²平移，記平移后的拋物線為C，其頂點(diǎn)為P．
（1）若拋物線沿y軸進(jìn)行上下平移，且平移后的拋物線C與x軸相交于M、N點(diǎn)，當(dāng)MN=2$\sqrt{3}$時(shí)，求此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若拋物線沿x軸進(jìn)行左右平移，且平移后的拋物線C與y軸交于點(diǎn)E，與直線l交于兩點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)為F，當(dāng)線段EF∥x軸時(shí)，求平移后的拋物線C對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若拋物線沿x軸進(jìn)行左右平移，在拋物線y=$\frac{1}{3}$x²平移過(guò)程中，將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB，點(diǎn)D能否落在拋物線C上？如能，求出此時(shí)拋物線C頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；如不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)拋物線平移的性質(zhì)可設(shè)出拋物線平移后的解析式，由拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出E點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸直線，根據(jù)EF∥x軸可知，E，F(xiàn)兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線對(duì)稱，可求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，把此坐標(biāo)代入（1）所求的直線解析式就可求出未知數(shù)的值，進(jìn)而求出拋物線C的解析式．
（3）根據(jù)特殊角求出D點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式，將表達(dá)式代入解析式，看能否計(jì)算出P點(diǎn)坐標(biāo)，若能，則D點(diǎn)在拋物線C上．反之，不在拋物線上．

解答 解：（1）設(shè)平移后的解析式為y=$\frac{1}{3}$x²+b，
由y=$\frac{1}{3}$x²+b與x軸的交點(diǎn)為M、N，
由M、N關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，得
M（$\sqrt{3}$，0），N（-$\sqrt{3}$，0）．
將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\frac{1}{3}$×（$\sqrt{3}$）²+b=0．
解得b=-1，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{3}$x²-1，
頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-1）；
（2）設(shè)拋物線C的解析式為y=$\frac{1}{3}$（x-t）²，則P（t，0），E（0，$\frac{1}{3}$t²），
∵EF∥x軸且F在拋物線C上，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知F（2t，$\frac{1}{3}$t²），
把x=2t，y=$\frac{1}{3}$t²代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3
得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+3=$\frac{1}{3}$t²
解得t₁=-$\sqrt{3}$，t₂=3$\sqrt{3}$
∴拋物線C的解析式為y=$\frac{1}{3}$（x-3$\sqrt{3}$）²或y=$\frac{1}{3}$（x+$\sqrt{3}$）²．
（3）假設(shè)點(diǎn)D落在拋物線C上，
如圖：
，
不妨設(shè)此時(shí)拋物線頂點(diǎn)P（m，0），則拋物線C：y=$\frac{1}{3}$（x-m）²，AP=3$\sqrt{3}$+m，
連接DP，作DM⊥x軸，垂足為M．由已知，得△PAB≌△DAB，
又∵∠BAO=30°，
∴△PAD為等邊三角形，
PM=AM=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$+m），
∴tan∠DAM=$\frac{DM}{AM}$=$\sqrt{3}$，
∴DM=$\frac{1}{2}$（9+$\sqrt{3}$m），
OM=PM-OP=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$+m）-m=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$-m），
∴M=[-$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$-m），0]，
∴D[-$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$-m），$\frac{1}{2}$（9+$\sqrt{3}$m）]，
∵點(diǎn)D落在拋物線C上，
∴$\frac{1}{2}$（9+$\sqrt{3}$m）=$\frac{1}{3}$[-$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$-m）-m]²，即m²=27，m=±3$\sqrt{3}$；
當(dāng)m=-3$\sqrt{3}$時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P（-3$\sqrt{3}$，0），點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不能構(gòu)成三角形，不符合題意，舍去．
當(dāng)m=3$\sqrt{3}$時(shí)P為（3$\sqrt{3}$，0）此時(shí)可以構(gòu)成△DAB，
所以點(diǎn)P為（3$\sqrt{3}$，0），
∴當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線C上，頂點(diǎn)P為（3$\sqrt{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，此題將拋物線與直線相結(jié)合，涉及到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，翻折變換問(wèn)題，有一定的難度．尤其（3）題是一道開放性問(wèn)題，需要進(jìn)行探索．要求同學(xué)們有一定的創(chuàng)新能力．