Question

如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，P為BC延長線上一點(diǎn)，∠PAC=∠B，AD為⊙O的直徑，過C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）判斷直線PA與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求證：AG²=AF•AB；
（3）若⊙O的直徑為10，AC=2

5

，AB=4

5

，求△AFG的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）首先連接CD，由AD為⊙O的直徑，可得∠ACD=90°，然后由圓周角定理，證得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可證得DA⊥PA，繼而可證得PA與⊙O相切．
（2）首先連接BG，易證得△AFG∽△AGB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論；
（3）首先連接BD，由AG²=AF•AB，可求得AF的長，易證得△AEF∽△ABD，即可求得AE的長，繼而可求得EF與EG的長，則可求得答案．

解答：（1）PA與⊙O相切．理由：
連接CD，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，
∴∠PAC=∠D，
∴∠PAC+∠CAD=90°，
即DA⊥PA，
∵點(diǎn)A在圓上，
∴PA與⊙O相切．

（2）證明：如圖2，連接BG，
∵AD為⊙O的直徑，CG⊥AD，
∴

AC

=

AG

，
∴∠AGF=∠ABG，
∵∠GAF=∠BAG，
∴△AGF∽△ABG，
∴AG：AB=AF：AG，
∴AG²=AF•AB；

（3）解：如圖3，連接BD，
∵AD是直徑，
∴∠ABD=90°，
∵AG²=AF•AB，AG=AC=2

5

，AB=4

5

，
∴AF=

AG2

AB

=

5

，
∵CG⊥AD，
∴∠AEF=∠ABD=90°，
∵∠EAF=∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴

AE

AB

=

AF

AD

，
即

AE

4 5

=

5

10

，
解得：AE=2，
∴EF=

AF2-AE2

=1，
∵EG=

AG2-AE2

=4，
∴FG=EG-EF=4-1=3，
∴S_△AFG=

1

2

FG•AE=

1

2

×3×2=3．

點(diǎn)評：此題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．