Question

如圖1，已知O是銳角∠XAY的邊AX上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心、R為半徑的圓與射線AY相切于點(diǎn)B，交射線OX于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BC，CD交AY于點(diǎn)D．

（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）若P是AY上一點(diǎn)，AP=4，且sinA=

3

5

．如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)P重合時(shí)，求R的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABO=90°，易證∠ABC=∠ACD，從而根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等得到兩個(gè)三角形相似；
（2）根據(jù)（1）中的相似三角形得到對(duì)應(yīng)邊的比相等，再結(jié)合銳角三角函數(shù)的概念，把AD用R表示，根據(jù)AD=AP求得R的值．

解答：（1）證明：如圖1，連接OB，
∵CD⊥BC，
∴∠ADC=90°-∠CBD．
又∵⊙O切AY于點(diǎn)B，
∴OB⊥AB．
∴∠OBC=90°-∠CBD．
∴∠ADC=∠OBC．
又∵在⊙O中，OB=OC=R，
∴∠OBC=∠ACB．
∴∠ACB=∠ADC．
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．

（2）解：如圖2，連接OB，
∵sinA=

3

5

，OB=OC=R，OB⊥AB，
∴在Rt△AOB中，AO=

OB

sinA

=

R

3 5

=

5

3

R，AB=

( 5 3 R)2+R2

=

4

3

R．
∴AC=

5

3

R+R=

8

3

R．
∵△ABC∽△ACD，
∴

AC

AB

=

AD

AC

．
∴

8 3 R

4 3 R

=

AD

8 3 R

．
∴AD=

16

3

R．
∵當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)P重合時(shí)，AD=AP=4，
∴

16

3

R=4．
∴R=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度較大，綜合性很強(qiáng)，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．