Question

如圖，已知矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE與DB交于點F，F(xiàn)G∥DA與AB交于點G．
（1）求證：BC=BF；
（2）若AB=4，AD=3，求CF；
（3）求證：GB•DC=DE•BC．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）要求證：BF=BC只要證明∠CFB=∠FCB就可以，從而轉(zhuǎn)化為證明∠BCE=∠BDC就可以；
（2）已知AB=4，AD=3，就是已知BC=BF=3，CD=4，在直角△BCD中，根據(jù)三角形的面積等于

1

2

BD•CE=

1

2

BC•DC，就可以求出CE的長．要求CF的長，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF=BF-BE，BE在直角△BCE中根據(jù)勾股定理，就可以求出；
（3）欲證GB•DC=DE•BC，由BC=BF，即證GB：DE=BF：DC，即證△GBF∽△EDC即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠CDB+∠DBC=90°．
∵CE⊥BD，
∴∠DBC+∠ECB=90°．
∴∠ECB=∠CDB．
又∵∠DCF=∠ECF，
∴∠CFB=∠CDB+∠DCF=∠ECB+∠ECF=∠BCF．
∴BF=BC；

（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得
BD=

AB2+AD2

=

32+42

=5．
又∵BD•CE=BC•DC，
∴CE=

BC×DC

BD

=

12

5

．
∴BE=

BC2-CE2

=

9

5

．
∴EF=BF-BE=3-

9

5

=

6

5

．
∴CF=

CE2+EF2

=

6 5

5

；

（3）證明：∵四邊形ABCD為矩形．FG∥DA與AB交于點G，CE⊥BD于E．
∴∠DBA=∠CDB，∠CED=∠BGF=90°．
∴△DEC∽△BGF．
∴GB：DE=BF：CD．
∴GB•CD=DE•BF．
∵BC=BF．
∴GB•DC=DE•BC

點評：本題主要考查矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，同時考查了等腰三角形邊角之間的關(guān)系．