Question

圖（1）為一個(gè)無蓋的正方體紙盒，現(xiàn)將其展開成平面圖，如圖（2）．已知展開圖中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1．
（1）求該展開圖中可畫出最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)度，并求出這樣的線段可畫幾條．
（2）試比較立體圖中∠ABC與平面展開圖中∠A′B′C′的大小關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問題

專題：

分析：（1）由長(zhǎng)方形中最長(zhǎng)的線段為對(duì)角線，從而可根據(jù)已知運(yùn)用勾股定理求得最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，又因?yàn)檎归_圖形中有兩個(gè)長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形有兩條對(duì)角線，知這樣的線段可畫4條；
（2）要確定角的大小關(guān)系，一般把兩個(gè)角分別放在兩個(gè)三角形中，然后根據(jù)三角形的特點(diǎn)或者全等或者相似形來解．

解答：解：（1）在平面展開圖中可畫出最長(zhǎng)的線段長(zhǎng)為

10

，
如圖（1）中的A′C′，在Rt△A′C′D′中，∵C′D′=1，A′D′=3，由勾股定理得，
A′C′=

C′D′2+A′D′2

=

1+9

=

10

．
答：這樣的線段可畫4條（另三條用虛線標(biāo)出）；


（2）∵立體圖中∠ABC為平面等腰直角三角形的直角，∴∠ABC=90°．
在平面展開圖中，連接線段B′C′，由勾股定理可得：A′B′=

5

，B′C′=

5

，
又∵A′B′²+B′C′²=A′C′²，
由勾股定理的逆定理可得△A′B′C′為直角三角形，
又∵A′B′=B′C′，∴△A′B′C′為等腰直角三角形，
∴∠A′B′C′=90°，
∴∠ABC與∠A′B′C′相等．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了平面展開-最短路徑問題，等腰直角三角形，勾股定理的知識(shí)，是一道綜合性比較強(qiáng)的題，難度中等．