【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)B在x軸的正半軸上,點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)如圖1,求∠DAO的大小及線段DE的長;
(Ⅱ)過點(diǎn)E的直線l與x軸交于點(diǎn)F,與射線DC交于點(diǎn)G.連接OE,△OEF′是△OEF關(guān)于直線OE對稱的圖形,記直線EF′與射線DC的交點(diǎn)為H,△EHC的面積為3.
①如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時,求GH,DG的長;
②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的右側(cè)時,求點(diǎn)F的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).
【答案】(Ⅰ)30°,2;(Ⅱ)①3+,-3+;②F(﹣5﹣,0).
【解析】解:(Ⅰ)∵A(﹣2,0),D(0,2)∴AO=2,DO=2,∴tan∠DAO==,
∴∠DAO=60°,∴∠ADO=30°,∴AD=2AO=4,∵點(diǎn)E為線段AD中點(diǎn),∴DE=2;
(Ⅱ)①如圖2,
過點(diǎn)E作EM⊥CD,∴CD∥AB,∴∠EDM=∠DAB=60°,∴EM=DEsin60°=,∴GH=6,
∵CD∥AB,∴∠DGE=∠OFE,
∵△OEF′是△OEF關(guān)于直線OE的對稱圖形,∴△OEF′≌△OEF,∴∠OFE=∠OF′E,
∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),∴OE=AD=AE,
∵∠EAO=60°,∴△EAO是等邊三角形,∴∠EOA=60°,∠AEO=60°,
∵△OEF′≌△OEF,∴∠EOF′=∠EOA=60°,
∴∠EOF′=∠AEO,∴AD∥OF′,∴∠OF′E=∠DEH,∴∠DEH=∠DGE,
∵∠DEH=∠EDG,∴△DHE∽△DEG,∴,∴DE2=DG×DH,
設(shè)DG=x,則DH=x+6,∴4=x(x+6),∴x1=﹣3+,x2=﹣3﹣,∴DG=﹣3+.
②如圖3,
過點(diǎn)E作EM⊥CD,∴CD∥AB,∴∠EDM=∠DAB=60°,∴EM=DEsin60°=,∴GH=6,
∵CD∥AB,∴∠DHE=∠OFE,
∵△OEF′是△OEF關(guān)于直線OE的對稱圖形,∴△OEF′≌△OEF,∴∠OFE=∠OF′E,
∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),∴OE=AD=AE,
∵∠EAO=60°,∴△EAO是等邊三角形,∴∠EOA=60°,∠AEO=60°,
∵△OEF′≌△OEF,∴∠EOF′=∠EOA=60°,∴∠EOF′=∠AEO,∴AD∥OF′,
∴∠OF′E=∠DEH,∴∠DEG=∠DHE,
∵∠DEG=∠EDH,∴△DGE∽△DEH,∴,∴DE2=DG×DH,
設(shè)DH=x,則DG=x+6,∴4=x(x+6),∴x1=﹣3+,x2=﹣3﹣,
∴DH=﹣3+.∴DG=3+∴DG=AF=3+,∴OF=5+,∴F(﹣5﹣,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F為對角線BD上的兩點(diǎn),且∠DAE=∠BCF.
求證:(1)AE=CF;
(2)四邊形AECF是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)的圖象過M(1,3),N(-2,12)兩點(diǎn).
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)試判斷點(diǎn)P(2a,-6a+8)是否在函數(shù)的圖象上,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】目前我市“校園手機(jī)”現(xiàn)象越來越受到社會關(guān)注,針對這種現(xiàn)象,重慶一中初三(1)班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)隨機(jī)調(diào)查了學(xué)校若干名家長對“中學(xué)生帶手機(jī)”現(xiàn)象的態(tài)度(態(tài)度分為:A.無所謂;B.基本贊成;C.贊成;D.反對),并將調(diào)查結(jié)果繪制成頻數(shù)折線統(tǒng)計圖1和扇形統(tǒng)計圖2(不完整).請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了多少名中學(xué)生家長;
(2)求出圖2中扇形C所對的圓心角的度數(shù),并將圖1補(bǔ)充完整;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請你估計我校11000名中學(xué)生家長中有多少名家長持反對態(tài)度;
(4)在此次調(diào)查活動中,初三(1)班和初三(2)班各有2位家長對中學(xué)生帶手機(jī)持反對態(tài)度,現(xiàn)從中選2位家長參加學(xué)校組織的家;顒,用列表法或畫樹狀圖的方法求選出的2人來自不同班級的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市開展一項自行車旅游活動,線路需經(jīng)A、B、C、D四地,如圖,其中A、B、C三地在同一直線上,D地在A地北偏東30°方向,在C地北偏西45°方向,C地在A地北偏東75°方向.且BC=CD=20km,問沿上述線路從A地到D地的路程大約是多少?(最后結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin15°≈0.25,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的中線,,交于點(diǎn),是的中點(diǎn),連接.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)若四邊形的面積為,請直接寫出圖中所有面積是的三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,過直線上一點(diǎn),作,,若,①你還能求出哪些角的度數(shù)_____________________(至少寫出兩個,直角和平角除外);
②與互余的角有__________,它們的數(shù)量關(guān)系是________;由此你得出的結(jié)論是_____________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在直角三角形ABC中,∠ABC=90,將三角形ABC繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到三角形BEF,EF交BC于點(diǎn)G.
(1)若,當(dāng)∠ABE等于多少度時,;
(2)若,,,當(dāng)時,
①求BG的長;
②連接AF交BE于點(diǎn)O,連接AE(如圖2),設(shè)三角形EOF的面積為m,求三角形AEO的面積(用含m的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙M與菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣3,1),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,﹣),點(diǎn)D在x軸上,且點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè).
(1)求菱形ABCD的周長;
(2)若⊙M沿x軸向右以每秒2個單位長度的速度平移,菱形ABCD沿x軸向左以每秒3個單位長度的速度平移,設(shè)菱形移動的時間為t(秒),當(dāng)⊙M與AD相切,且切點(diǎn)為AD的中點(diǎn)時,連接AC,求t的值及∠MAC的度數(shù);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)M與AC所在的直線的距離為1時,求t的值.
【答案】(1)菱形的周長為8;(2)t=,∠MAC=105°;(3)當(dāng)t=1﹣或t=1+時,圓M與AC相切.
【解析】試題分析:(1)過點(diǎn)B作BE⊥AD,垂足為E.由點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可知:BE=,AE=1,依據(jù)勾股定理可求得AB的長,從而可求得菱形的周長;(2)記 M與x軸的切線為F,AD的中點(diǎn)為E.先求得EF的長,然后根據(jù)路程=時間×速度列出方程即可;平移的圖形如圖3所示:過點(diǎn)B作BE⊥AD,垂足為E,連接MF,F為 M與AD的切點(diǎn).由特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠EAB=60°,依據(jù)菱形的性質(zhì)可得到∠FAC=60°,然后證明△AFM是等腰直角三角形,從而可得到∠MAF的度數(shù),故此可求得∠MAC的度數(shù);(3)如圖4所示:連接AM,過點(diǎn)作MN⊥AC,垂足為N,作ME⊥AD,垂足為E.先求得∠MAE=30°,依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到AE的長,然后依據(jù)3t+2t=5-AE可求得t的值;如圖5所示:連接AM,過點(diǎn)作MN⊥AC,垂足為N,作ME⊥AD,垂足為E.依據(jù)菱形的性質(zhì)和切線長定理可求得∠MAE=60°,然后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到EA=,最后依據(jù)3t+2t=5+AE.列方程求解即可.
試題解析:( )如圖1所示:過點(diǎn)作,垂足為,
∵, ,
∴, ,
∴,
∵四邊形為菱形,
∴,
∴菱形的周長.
()如圖2所示,⊙與軸的切線為, 中點(diǎn)為,
∵,
∴,
∵,且為中點(diǎn),
∴, ,
∴,
解得.
平移的圖形如圖3所示:過點(diǎn)作,
垂足為,連接, 為⊙與切點(diǎn),
∵由()可知, , ,
∴,
∴,
∴,
∵四邊形是菱形,
∴,
∵為切線,
∴,
∵為的中點(diǎn),
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴.
()如圖4所示:連接,過點(diǎn)作,垂足為,作,垂足為,
∵四邊形為菱形, ,
∴.
∵、是圓的切線
∴,
∵。
∴,
∴,
∴.
如圖5所示:連接,過點(diǎn)作,垂足為,作,垂足為,
∵四邊形為菱形, ,
∴,
∴,
∵、是圓的切線,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
綜上所述,當(dāng)或時,圓與相切.
點(diǎn)睛:此題是一道圓的綜合題.圓中的方法規(guī)律總結(jié):1、分類討論思想:研究點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系時,就要從不同的位置關(guān)系去考慮,即要全面揭示點(diǎn)、直線和元的各種可能的位置關(guān)系.這種位置關(guān)系的考慮與分析要用到分類討論思想.1、轉(zhuǎn)化思想:(1)化“曲面”為“平面”(2)化不規(guī)則圖形面積為規(guī)則圖形的面積求解.3、方程思想:再與圓有關(guān)的計算題中,除了直接運(yùn)用公式進(jìn)行計算外,有時根據(jù)圖形的特點(diǎn),列方程解答,思路清楚,過程簡捷.
【題型】解答題
【結(jié)束】
28
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B(4,0)、C(0,3),點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn),AM⊥BC于點(diǎn)M交y軸于點(diǎn)N(0, ).已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,B,C.
(1)求拋物線的函數(shù)式;
(2)連接AC,點(diǎn)D在線段BC上方的拋物線上,連接DC,DB,若△BCD和△ABC面積滿足S△BCD= S△ABC, 求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖2,E為OB中點(diǎn),設(shè)F為線段BC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接EF.一動點(diǎn)P從E出發(fā),沿線段EF以每秒3個單位的速度運(yùn)動到F,再沿著線段PC以每秒5個單位的速度運(yùn)動到C后停止.若點(diǎn)P在整個運(yùn)動過程中用時最少,請直接寫出最少時間和此時點(diǎn)F的坐標(biāo).
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