Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H，⊙O的半徑為1，CD=

3

，圓周上到直線AC距離為

1

2

的點有多少個？并說明理由．

Answer 1

考點：垂徑定理,三角形中位線定理

專題：計算題

分析：作OM⊥AC于M，交⊙O于F，如圖，根據(jù)垂徑定理由AB⊥CD得CH=

1

2

CD=

3

2

，在Rt△OCH中利用勾股定理計算出OH=

1

2

，則OH=BH，根據(jù)等腰三角形的判定得CB=CO=1，再由OM⊥AC得到AM=CM，則OM為△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得OM=

1

2

BC=

1

2

，所以FM=OF-OM=

1

2

，于是得到在弧AC上點AC的距離為1的點有一個，加上在優(yōu)弧AEC上到AC的距離為

1

2

的點一定有兩個，所以圓周上存在3個點到直線AC的距離為

1

2

．

解答：解：圓周上存在3個點到直線AC的距離為

1

2

．理由如下：
作OM⊥AC于M，交⊙O于F，如圖，
∵AB⊥CD，
∴CH=DH=

1

2

CD=

3

2

，
在Rt△OCH中，OH=

OC2-CH2

=

1

2

，
∴OH=BH，
∴CB=CO=1，
∵OM⊥AC，
∴AM=CM，
∴OM為△ABC的中位線，
∴OM=

1

2

BC=

1

2

，
∴FM=OF-OM=

1

2

，
即在弧AC上點AC的距離為1的點有一個，
而在優(yōu)弧AEC上到AC的距離為

1

2

的點一定有兩個，
∴圓周上存在3個點到直線AC的距離為

1

2

．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．