Question

【題目】如圖，在中，，動點從點出發(fā)，以的速度沿射線運(yùn)動，同時動點Q從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊BC的延長線運(yùn)動，PQ與直線AC相交于點D．設(shè)P點運(yùn)動時間為t秒，的面積為．

(1)直接寫出的長：= ；

(2)求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)點運(yùn)動幾秒時，；

(3)作于點，當(dāng)點、運(yùn)動時，線段的長度是否改變？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）AC=cm；（2）當(dāng)點P運(yùn)動（2+2）秒時，S△PCQ=S△ABC ；（3）線段DE的長度不會改變．證明見解析.

【解析】

（1）利用勾股定理求解即可；
（2）分兩種情形當(dāng)0＜t≤4時，當(dāng)t＞4秒時，分別構(gòu)建方程即可解決問題；
（3）過Q作QM⊥AC，交直線AC于點M，利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明四邊形PEQM是平行四邊形，求出DE是定值即可解決問題．

解：（1）∵AB=BC=8cm，∠ABC=90°，

cm，

（2）當(dāng)0＜t4時，P在線段AB上，此時CQ=2t，PB=8﹣2t，

∴，

當(dāng)t＞4秒時，P在線段AB的延長線上，此時CQ=2t，PB=2t﹣8，

，

∵S△ABC=，

∴當(dāng)t4時，S△PCQ=

整理得t2﹣4t+16=0，

∵△＜0，

∴此方程無實數(shù)解；

當(dāng)t＞4時，S△PCQ=，

整理得t2﹣4t﹣16=0，

解得（負(fù)值已舍去），

∴當(dāng)點P運(yùn)動（）秒時，S△PCQ=S△ABC；

（3）當(dāng)點P、Q運(yùn)動時，線段DE的長度不會改變．

證明：如圖2，過Q作QM⊥AC，交直線AC于點M，

∵PE⊥AC，QM⊥AC，
∴∠AEP=∠M=90°，
∵AP=CQ，∠A=∠ACB=∠MCQ=45°，
∴△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=t，

∴四邊形PEQM是平行四邊形，

∴DE是對角線EM的一半，

又∵EM=AC=8，

∴DE=4，

∴當(dāng)點P、Q運(yùn)動時，線段DE的長度不會改變；

同理，當(dāng)點P在點B右側(cè)時，DE=4，

綜上所述，當(dāng)點P、Q運(yùn)動時，線段DE的長度不會改變．