Question

【題目】如圖，在中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，的面積為．

(1)直接寫出的長(zhǎng)：= ；

(2)求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，；

(3)作于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否改變？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）AC=cm；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)（2+2）秒時(shí)，S△PCQ=S△ABC ；（3）線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．證明見解析.

【解析】

（1）利用勾股定理求解即可；
（2）分兩種情形當(dāng)0＜t≤4時(shí)，當(dāng)t＞4秒時(shí)，分別構(gòu)建方程即可解決問題；
（3）過Q作QM⊥AC，交直線AC于點(diǎn)M，利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明四邊形PEQM是平行四邊形，求出DE是定值即可解決問題．

解：（1）∵AB=BC=8cm，∠ABC=90°，

cm，

（2）當(dāng)0＜t4時(shí)，P在線段AB上，此時(shí)CQ=2t，PB=8﹣2t，

∴，

當(dāng)t＞4秒時(shí)，P在線段AB的延長(zhǎng)線上，此時(shí)CQ=2t，PB=2t﹣8，

，

∵S△ABC=，

∴當(dāng)t4時(shí)，S△PCQ=

整理得t2﹣4t+16=0，

∵△＜0，

∴此方程無實(shí)數(shù)解；

當(dāng)t＞4時(shí)，S△PCQ=，

整理得t2﹣4t﹣16=0，

解得（負(fù)值已舍去），

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)（）秒時(shí)，S△PCQ=S△ABC；

（3）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．

證明：如圖2，過Q作QM⊥AC，交直線AC于點(diǎn)M，

∵PE⊥AC，QM⊥AC，
∴∠AEP=∠M=90°，
∵AP=CQ，∠A=∠ACB=∠MCQ=45°，
∴△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=t，

∴四邊形PEQM是平行四邊形，

∴DE是對(duì)角線EM的一半，

又∵EM=AC=8，

∴DE=4，

∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變；

同理，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，DE=4，

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．