4.如圖,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,已知點(diǎn)A(-1,-1),點(diǎn)B在第二象限,OB=2$\sqrt{2}$,拋物線y=$\frac{3}{5}$x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和B.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求拋物線y=$\frac{3}{5}$x2+bx+c的對(duì)稱軸;
(3)如果該拋物線的對(duì)稱軸分別和邊AO、BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C、D,設(shè)點(diǎn)E在直線AB上,當(dāng)△BOE和△BCD相似時(shí),直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).

分析 (1)根據(jù)互相垂直的兩直線一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1,可得BO的解析式,根據(jù)勾股定理,可得B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式,根據(jù)配方法,可得答案;
(3)根據(jù)待定系數(shù),可得AB的解析式,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得E、F點(diǎn)的坐標(biāo),分類討論:△BCD∽△BEO時(shí),可得F點(diǎn)坐標(biāo);△BCD∽△BOE時(shí),根據(jù)相似于同一個(gè)三角形的兩個(gè)三角形相似,可得△BFO∽BOE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得BF的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理,可得F點(diǎn)坐標(biāo).

解答 解:(1)AO的解析式為y=x,AO⊥BO,
BO的解析式為y=-x,設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(a,-a),
由OB=2$\sqrt{2}$,得
$\sqrt{{a}^{2}+(-a)^{2}}$=2$\sqrt{2}$.
解得a=2(不符合題意,舍),或a=-2,
B(-2,2);
(2)將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{5}-b+c=-1}\\{\frac{3}{5}×4-2b+c=2}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{6}{5}}\\{c=-\frac{14}{5}}\end{array}\right.$,
y=$\frac{3}{5}$x2-$\frac{6}{5}$x-$\frac{14}{5}$=$\frac{3}{5}$(x-1)2-$\frac{17}{5}$,
對(duì)稱軸是直線x=1;
(3)設(shè)AB的解析式為y=kx+b,
將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-1}\\{-2k+b=2}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=-4}\end{array}\right.$,
AB的解析式為y=-3x-4.
當(dāng)y=0時(shí),x=-$\frac{4}{3}$,即F(-$\frac{4}{3}$,0).
AO:y=x,當(dāng)x=1時(shí),y=1,即C(1,1);
BO:y=-x,當(dāng)x=1時(shí),y=-1,即D(1,-1);
AB=BC=$\sqrt{10}$,AO=OC=$\sqrt{2}$.
①圖1,
∠CBD=∠ABD,∠BOF=∠BDC=45°,△BCD∽△BEO時(shí).
此時(shí),F(xiàn)與E重合,E(-$\frac{4}{3}$,0);
②圖2,設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(b,-3b-4),
△BCD∽△BOE時(shí),
∵△BCD∽△BFO,
∴△BFO∽BOE,
$\frac{BO}{BE}$=$\frac{BF}{BO}$,
∴BO2=BF•BE,
8=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$•BE,
BE=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$,
$\sqrt{(b+2)^{2}+(-3b-4-2)^{2}}$=$\frac{6\sqrt{10}}$,
解得b=-$\frac{4}{5}$,-3b-4=-3×(-$\frac{4}{5}$)-4=-$\frac{8}{5}$,
∴E(-$\frac{4}{5}$,-$\frac{8}{5}$),
綜上所述:當(dāng)△BOE和△BCD相似時(shí),直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)(-$\frac{4}{3}$,0),(-$\frac{4}{5}$,-$\frac{8}{5}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題,利用互相垂直的兩直線一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1得出BO的解析式是解題關(guān)鍵;利用配方法得出對(duì)稱軸是解題關(guān)鍵;利用相似于同一個(gè)三角形的兩個(gè)三角形相似得出△BFO∽BOE,又利用了相似三角形的性質(zhì).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2.(1)$\sqrt{3}$cos30°-2sin60°
(2)sin230°+cos245°+$\sqrt{2}$sin60°•tan45°
(3)${\sqrt{1-2tan{{60}°}+{{tan}^2}{{60}°}}^{\;}}-tan{60°}$
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19.?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng):擦出智慧的火花---由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.
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(3)小聰提出:如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B,C外)的任意一點(diǎn)”,其它條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,你認(rèn)為小聰?shù)挠^點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過(guò)程;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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9.觀察下列一串單項(xiàng)式的特點(diǎn):xy,-2x2y,4x3y,-8x4y,16x5y,…
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(2)試猜想第n個(gè)單項(xiàng)式為(-1)n+12n-1xny.

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