Question

4．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，已知點A（-1，-1），點B在第二象限，OB=2$\sqrt{2}$，拋物線y=$\frac{3}{5}$x²+bx+c經(jīng)過點A和B．
（1）求點B的坐標；
（2）求拋物線y=$\frac{3}{5}$x²+bx+c的對稱軸；
（3）如果該拋物線的對稱軸分別和邊AO、BO的延長線交于點C、D，設(shè)點E在直線AB上，當△BOE和△BCD相似時，直接寫出點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)互相垂直的兩直線一次項系數(shù)的乘積為-1，可得BO的解析式，根據(jù)勾股定理，可得B點坐標；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得答案；
（3）根據(jù)待定系數(shù)，可得AB的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得E、F點的坐標，分類討論：△BCD∽△BEO時，可得F點坐標；△BCD∽△BOE時，根據(jù)相似于同一個三角形的兩個三角形相似，可得△BFO∽BOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得BF的長，根據(jù)勾股定理，可得F點坐標．

解答 解：（1）AO的解析式為y=x，AO⊥BO，
BO的解析式為y=-x，設(shè)B點坐標為（a，-a），
由OB=2$\sqrt{2}$，得
$\sqrt{{a}^{2}+（-a）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
解得a=2（不符合題意，舍），或a=-2，
B（-2，2）；
（2）將A、B點坐標代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{5}-b+c=-1}\\{\frac{3}{5}×4-2b+c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{6}{5}}\\{c=-\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，
y=$\frac{3}{5}$x²-$\frac{6}{5}$x-$\frac{14}{5}$=$\frac{3}{5}$（x-1）²-$\frac{17}{5}$，
對稱軸是直線x=1；
（3）設(shè)AB的解析式為y=kx+b，
將A、B點的坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-1}\\{-2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
AB的解析式為y=-3x-4．
當y=0時，x=-$\frac{4}{3}$，即F（-$\frac{4}{3}$，0）．
AO：y=x，當x=1時，y=1，即C（1，1）；
BO：y=-x，當x=1時，y=-1，即D（1，-1）；
AB=BC=$\sqrt{10}$，AO=OC=$\sqrt{2}$．
①圖1，
∠CBD=∠ABD，∠BOF=∠BDC=45°，△BCD∽△BEO時．
此時，F(xiàn)與E重合，E（-$\frac{4}{3}$，0）；
②圖2，設(shè)E點坐標為（b，-3b-4），
△BCD∽△BOE時，
∵△BCD∽△BFO，
∴△BFO∽BOE，
$\frac{BO}{BE}$=$\frac{BF}{BO}$，
∴BO²=BF•BE，
8=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$•BE，
BE=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
$\sqrt{（b+2）^{2}+（-3b-4-2）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{10}}$，
解得b=-$\frac{4}{5}$，-3b-4=-3×（-$\frac{4}{5}$）-4=-$\frac{8}{5}$，
∴E（-$\frac{4}{5}$，-$\frac{8}{5}$），
綜上所述：當△BOE和△BCD相似時，直接寫出點E的坐標（-$\frac{4}{3}$，0），（-$\frac{4}{5}$，-$\frac{8}{5}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用互相垂直的兩直線一次項系數(shù)的乘積為-1得出BO的解析式是解題關(guān)鍵；利用配方法得出對稱軸是解題關(guān)鍵；利用相似于同一個三角形的兩個三角形相似得出△BFO∽BOE，又利用了相似三角形的性質(zhì)．