Question

已知正方形ABCD和正方形EBGF共頂點(diǎn)B，連AF，H為AF的中點(diǎn)，連EH，正方形EBGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)F點(diǎn)落在BC上時(shí)，求證：EH=

1

2

FC；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時(shí)，連BH，若AB=5，BG=2，求BH的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)正方形EBGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，求

EH

CF

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,勾股定理,三角形中位線定理,正方形的性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）延長(zhǎng)FE交AB于點(diǎn)Q，易證EF=QE，QB=FB，從而可以證到HE=

1

2

AQ，AQ=CF，進(jìn)而得到HE=

1

2

CF．
（2）延長(zhǎng)EH交AB于點(diǎn)N，易證△ANH≌△FEH，則有NH=EH，AN=EF，進(jìn)而可以證到BH=

1

2

EN，只需求出EN就可求出BH的值．
（3）過(guò)點(diǎn)A作EF平行線交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，延長(zhǎng)EH交AT于S，連接SB、EC，易證△ASH≌△FEH，則有AS=EF，SH=EH．進(jìn)而可以證到△SAB≌△EBC，則有SB=EC，∠ASB=∠BEC．由∠ASB=∠BEC可以推出∠SBE=∠CEF，從而可以證到△SBE≌△CEF，則有SE=CF，就可得到EH=

1

2

SE=

1

2

CF．

解答：解：（1）證明：延長(zhǎng)FE交AB于點(diǎn)Q，如圖1，
∵四邊形EFBG是正方形，
∴EF=EB，∠EFB=∠EBF=45°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC．
∴∠BQF=∠QBE=45°．
∴QE=EB．
∴QE=EF．
∵AH=FH，
∴HE=

1

2

AQ．
∵∠BQF=∠BFQ=45°，
∴BQ=BF．
∵AB=BC，
∴AQ=CF．
∴HE=

1

2

CF．
（2）延長(zhǎng)EH交AB于點(diǎn)N，如圖2，
∵四邊形BEFG是正方形，
∴EF∥BG，EF=EB=BG=2．
∵EF∥AG，
∴∠FEH=∠ANH，∠EFH=∠NAH．
在△ANH和△FEH中，

∠FEH=∠ANH ∠EFH=∠NAH AH=FH

∴△ANH≌△FEH．
∴NH=EH，AN=EF．
∵AB=5，AN=EF=2，
∴BN=AB-AN=3．
∵∠NBE=90°，BE=2，BN=3，
∴EN=

22+32

=

13

．
∵∠NBE=90°，EH=NH，
∴BH=

1

2

EN=

13

2

．
∴BH的值為

13

2

．
（3）過(guò)點(diǎn)A作EF平行線交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，
延長(zhǎng)EH交AT于S，連接SB、EC，如圖3，
∵EF∥AS，
∴∠FEH=∠ASH，∠EFH=∠SAH．
在△ASH和△FEH中，

∠FEH=∠ASH ∠EFH=∠SAH AH=FH

∴△ASH≌△FEH．
∴AS=EF，SH=EH．
∵四邊形BEFG是正方形，
∴BE=EF，∠FEB=90°．
∴AS=BE．
∵EF∥AS，
∴∠ATE=∠FEB=90°．
∴∠TAB+∠ABT=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABT=90°．
∴∠TAB=∠CBE．
在△SAB和△EBC中，

AB=BC ∠SAB=∠EBC AS=BE

∴△SAB≌△EBC．
∴SB=EC．∠ASB=∠BEC．
∵∠ATB=90°，
∴∠TSB+∠TBS=90°．
∴∠ASB+∠SBE=360°-90°=270°．
∵∠BEC+∠CEF=360°-90°=270°，
∴∠SBE=∠CEF．
在△SBE和△CEF中，

SB=EC ∠SBE=∠CEF BE=EF

．
∴△SBE≌△CEF．
∴SE=CF．
∵SH=EH，
∴EH=

1

2

SE=

1

2

CF．
∴

EH

CF

的值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識(shí)，綜合性非常強(qiáng)，由一定的難度．而利用點(diǎn)H為AF的中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形是解決第三小題的關(guān)鍵．