Question

在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，點(diǎn)P為對角線BD垂直平分線上一點(diǎn)，且PD=5，則AP的長是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，利用線段垂直平分線定理得到BM=DM，可得出AM+BM=AM+MD=AD=8，設(shè)AM=x，則有BM=8-x，在直角三角形ABM中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到AM與DM的長，根據(jù)DM=5，得到此時P與M重合，AP的長即為AM的長；當(dāng)P與N重合時，在直角三角形ABN中，由AB與BN的長，利用勾股定理求出AN的長即為AP的長．

解答：解：連接矩形ABCD對角線BD，做出BD的垂直平分線MN，交AD、BC分別于M，N點(diǎn)，連接BM，DN，AN，
∴BM=MD，AM+MD=AM+BM=AD=8，
在Rt△ABM中，設(shè)AM=x，BM=8-x，AB=4，
根據(jù)勾股定理得：x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴AM=3，MD=5，
當(dāng)P與M重合時，PD=5，此時AP=3；
連接AN，當(dāng)P與N重合時，由對稱性得到PD=ND=BN=5，
在Rt△ABN中，AB=4，BN=5，
根據(jù)勾股定理得：AN=

42+52

=

41

，此時AP=

41

．
故答案為：3或

41

．

點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線定理，以及勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．