Question

17．如圖：平行四邊形ABCD中，（AB≠AD），AE，CF分別平分∠BAD和∠BCD
①求證：AE=CF；
②若E是BC中點(diǎn)，求證：BC=2AB．

Answer 1

分析 ①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，∠BAD=∠BCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠1=∠2，進(jìn)而可得∠3=∠4，然后可判定四邊形AECF是平行四邊形，從而得到AE=CF；
（2）根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)可證明∠5=∠6，從而可得AB=BE，再根據(jù)E是BC中點(diǎn)可證出結(jié)論．

解答 證明：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∴∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，
∵AE，CF分別平分∠BAD和∠BCD，
∴∠1=$\frac{1}{2}∠$BAD，∠2=$\frac{1}{2}∠$BCD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AE=CF；

②∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠6，
∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠5，
∴∠5=∠6，
∴AB=BE，
∵E是BC中點(diǎn)，
∴BC=2BE，
∴BC=2AB．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)邊平行，對(duì)角線相等．