Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，sinB=$\frac{3}{5}$．點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，連接DE、DF，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，點(diǎn)P沿A→F→D的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止；點(diǎn)Q沿BC的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)Q作BC的垂線交AB于點(diǎn)M，以點(diǎn)P，M，Q為頂點(diǎn)作平行四邊形PMQN．設(shè)平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分的面積為y（cm²），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，MQ=$\frac{9}{4}$cm；
（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，某一時(shí)刻，點(diǎn)P落在MQ上，求此時(shí)BQ的長(zhǎng)度；
（3）是否存在某一時(shí)間t，使平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分是平行四邊形且面積為$\frac{15}{2}$？若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，求出AF=FC=3cm，BQ=AF=3cm，即可求出答案；
（2）根據(jù)在點(diǎn)P從點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，點(diǎn)P落在MQ上得出方程t+t-3=8，求出即可；
（3）求出DE=$\frac{1}{2}$AC=3，DF=$\frac{1}{2}$BC=4，證△MBQ∽△ABC，求出MQ=$\frac{3}{4}$t，分為三種情況：①當(dāng)3≤t＜4時(shí)，重疊部分圖形為平行四邊形，根據(jù)y=PN•PD代入求出即可；②當(dāng)4≤t＜$\frac{11}{2}$時(shí)，重疊部分為矩形，根據(jù)圖形得出y=3[（8-t）-（t-3）]；③當(dāng)$\frac{11}{2}$≤t≤7時(shí)，重疊部分圖形為矩形，根據(jù)圖形得出y=3[（t-3）-（8-t）]，求出即可．

解答 解：（1）如圖1，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{6}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AB=10cm，
由勾股定理求得BC=8cm．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，
∵F為AC的中點(diǎn)，AC=6cm，
∴AF=FC=3cm，
∵P和Q的運(yùn)動(dòng)速度都是1cm/s，
∴BQ=AF=3cm，
∵M(jìn)Q∥AC，
∴$\frac{MQ}{AC}$=$\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{MQ}{6}$=$\frac{3}{8}$，
解得MQ=$\frac{9}{4}$（cm），
故答案為：$\frac{9}{4}$．

（2）設(shè)在點(diǎn)P從點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，點(diǎn)P落在MQ上，如圖1，
則t+t-3=8，
t=$\frac{11}{2}$，
BQ的長(zhǎng)度為$\frac{11}{2}$×1=$\frac{11}{2}$（cm）；

（3）∵D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3，
DF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵M(jìn)Q⊥BC，
∴∠BQM=∠C=90°，
∵∠QBM=∠CBA，
∴△MBQ∽△ABC，
∴$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{MQ}{AC}$，
∴$\frac{t}{8}$=$\frac{MQ}{6}$，
MQ=$\frac{3}{4}$t，
分為三種情況：①當(dāng)3≤t＜4時(shí)，重疊部分圖形為平行四邊形，如圖2，
y=PN•PD
=$\frac{3}{4}$x（7-t）
即y=-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{21}{4}$t，
則-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{21}{4}$t=$\frac{15}{2}$，
整理得：（t-2）（t-5）=0，
解得t₁=2（舍去），t₂=5，
即當(dāng)t=5時(shí)，平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分是平行四邊形且面積為$\frac{15}{2}$；
②當(dāng)4≤t＜$\frac{11}{2}$時(shí)，重疊部分為矩形，如圖3，
y=3[（8-t）-（t-3）]
即y=-6t+33，
所以-6t+33=$\frac{15}{2}$，
解得t=$\frac{17}{4}$．
當(dāng)t=$\frac{17}{4}$時(shí)，平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分是平行四邊形且面積為$\frac{15}{2}$；

③當(dāng)$\frac{11}{2}$≤t≤7時(shí)，重疊部分圖形為矩形，如圖4，
y=3[（t-3）-（8-t）]
即y=6t-33．
則6t-33=$\frac{15}{2}$，
解得t=$\frac{27}{4}$，
即當(dāng)t=$\frac{27}{4}$時(shí)，平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分是平行四邊形且面積為$\frac{15}{2}$；
綜上所述，當(dāng)t的值為5或$\frac{17}{4}$或$\frac{27}{4}$時(shí)，平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分是平行四邊形且面積為$\frac{15}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，用了分類討論思想．