Question

如圖，二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點，并經(jīng)過B點，已知A點坐標是（2，0），B點的坐標是（8，6）．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）求函數(shù)圖象的頂點坐標及D點的坐標．
（3）該二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點．連接BC，并延長BC交拋物線于E點，連接BD，DE，求△BDE的面積．
（4）拋物線上有一個動點P，與A，D兩點構成△ADP，是否存在S_△ADP=

1

2

S_△BCD？若存在，請求出P點的坐標；若不存在．請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出b，c即可求出二次函數(shù)解析式，
（2）把二次函數(shù)式轉化可直接求出頂點坐標，由A對稱關系可求出點D的坐標．
（3）由待定系數(shù)法可求出BC所在的直線解析式，與拋物線組成方程求出點E的坐標，利用△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積求出△BDE的面積．
（4）設點P到x軸的距離為h，由S_△ADP=

1

2

S_△BCD求出h的值，根據(jù)h的正，負值求出點P的橫坐標即可求出點P的坐標．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象過A（2，0），B（8，6）
∴

1 2 ×22+2b+c=0 1 2 ×82+8b+c=6

，解得

b=-4 c=6

∴二次函數(shù)解析式為：y=

1

2

x²-4x+6，

（2）由y=

1

2

x²-4x+6，得y=

1

2

（x-4）²-2，
∴函數(shù)圖象的頂點坐標為（4，-2），
∵點A，D是y=

1

2

x²+bx+c與x軸的兩個交點，
又∵點A（2，0），對稱軸為x=4，
∴點D的坐標為（6，0）．

（3）∵二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點．
∴C點的坐標為（4，0）
∵B（8，6），
設BC所在的直線解析式為y=kx+b，
∴

4k+b=0 8k+b=6

解得

k= 3 2 b=-6

∴BC所在的直線解析式為y=

3

2

x-6，
∵E點是y=

3

2

x-6與y=

1

2

x²-4x+6的交點，
∴

3

2

x-6=

1

2

x²-4x+6
解得x₁=3，x₂=8（舍去），
當x=3時，y=-

3

2

，
∴E（3，-

3

2

），
∴△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積=

1

2

×2×6+

1

2

×2×

3

2

=7.5．

（4）存在，
設點P到x軸的距離為h，
∵S_△BCD=

1

2

×2×6=6，S_△ADP=

1

2

×4×h=2h
∵S_△ADP=

1

2

S_△BCD
∴2h=6×

1

2

，解得h=

3

2

，
當P在x軸上方時，

3

2

=

1

2

x²-4x+6，解得x₁=4+

7

，x₂=4-

7

，
當當P在x軸下方時，
-

3

2

=

1

2

x²-4x+6，解得x₁=3，x₂=5，
∴P₁（4+

7

，

3

2

），P₂（4-

7

，

3

2

），P₃（3，-

3

2

），P₄（5，-

3

2

）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關鍵是利用待定系數(shù)的方法求出函數(shù)解析式以及三角形面積的轉化．