Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上，DE交AB于點(diǎn)O，且∠CDE=30°，AD=nBE．
（1）如圖1，當(dāng)n=

3

時(shí)，求證：OA=OB；
（2）如圖2，當(dāng)n=1時(shí)，求

OB

OA

的值；
（3）當(dāng)n=

 

時(shí)，

OB

OA

=

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥BC，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，利用已知條件可證明△BOF≌△AOD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到OB=OA；
（2）由（1）可知BF∥CD，所以△BOF∽△AOD，進(jìn)而求出

OB

OA

的值；
（3）由（2）可知△BOF∽△AOD，所以可求出進(jìn)而可求出BF：AD=BO：AD的值，再利用30°角的銳角三角函數(shù)值即可求出n的值．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥BC，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∵∠C=90°，
∴BF∥CD，
∴∠F=∠D=30°，
∴BF=

3

BE，當(dāng)n=

3

時(shí)，
即AD=

3

BE，
∴BF=AD，
在△BOF和△AOD中，

∠F=∠D ∠BOF=∠AOD BF=AD

，
∴△BOF≌△AOD（AAS），
∴OB=OA；
（2）由（1）可知BF∥CD，
∴△BOF∽△AOD，
∴

OB

OA

=

BF

AD

=

BF

BE

=

3

；
（3）∵△BOF∽△AOD，
∴BF：AD=BO：AD，
∵OB：OA=1：2，
∴BF：AD=1：2，
∵AD=nBE．
∴BE=

1

n

AD，
∴BE=

1

n

×2BF=

2

n

BF，
∵∠F=30°，
∴

BE

BF

=

3

3

，
∴

2

n

=

3

3

，
∴n=2

3

．
故答案為：2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及30°角的銳角三角形函數(shù)值，題目的綜合性較強(qiáng)，難度不�。�