Question

18．如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．
（1）求證：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，∠BAC=∠C=60°，然后利用“邊角邊”即可證明兩三角形；
（2）由SAS可得△ABE≌△CAD，進而得出對應(yīng)角相等，再通過角之間的轉(zhuǎn)化即可求解∠BPD的度數(shù)，進而求得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABE與△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAC=∠C=60°}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；

（2）由（1）知△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握這兩個性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．