【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),菱形的對(duì)角線在軸上,兩點(diǎn)分別在第一象限和第四象限.直線的解析式為.
(1)如圖1,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖2,為射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)和點(diǎn)重合),過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn).設(shè)線段的長(zhǎng)度為,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求與的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量的取值范圍;
(3)如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的延長(zhǎng)線上時(shí),連接交軸于點(diǎn),連接,,延長(zhǎng)交于點(diǎn),過(guò)作交軸于點(diǎn),的角平分線交軸于點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)A(4,2);(2)d= ;(3)S(,0).
【解析】
(1)如圖1中,連接AC交OB于F,延長(zhǎng)BA交y軸于E.利用三角形的中位線定理解決問(wèn)題即可.
(2)分兩種情形:①如圖2-1中,當(dāng)0<m<4時(shí),作PM⊥OB于M,QN⊥OB于N.②如圖2-2中,當(dāng)m>4時(shí),作PM⊥OB于M,QN⊥OB于N.分別求解即可.
(3)如圖3中,連接AC交OB于K,在KB上取一點(diǎn)J,使得AK=JK,連接AJ,作ET⊥OB于T,延長(zhǎng)PE交y軸于R,連接FM交ES于L.首先證明AJ平分∠BAM,設(shè)KM=a,利用角平分線的性質(zhì)定理構(gòu)建方程求出a,可得點(diǎn)M的坐標(biāo),即可解決問(wèn)題.
(1)如圖1中,連接AC交OB于F,延長(zhǎng)BA交y軸于E.
∵直線AB的解析式為y=-x+4,
∴E(0,4),B(8,0),
∴OE=4,OB=8,
∵四邊形OABC是菱形,
∴AC⊥OB,OF=FB=4,
∴∠AFB=∠EOB=90°,
∴AF∥OE,∵OF=FB,
∴AE=AB,
∴AF=OE=2,
∴A(4,2).
(2)如圖2-1中,當(dāng)0<m<4時(shí),作PM⊥OB于M,QN⊥OB于N.
∵PQ∥OB,PM⊥OB,QN⊥OB,
∴PM=QN,∠OMP=∠BNQ=90°,四邊形PQNM是矩形,
∴PQ=MN
∵AO=AB,
∴∠POM=∠QBN,
∴△PMO≌△QNB(AAS),
∴OM=BN=m,
∴d=PQ=MN=8-2m.
如圖2-2中,當(dāng)m>4時(shí),作PM⊥OB于M,QN⊥OB于N.
同法可得PQ=MN,OM=BM=m,
∴d=PQ=MN=2m-8.
綜上所述,d= .
(3)如圖3中,連接AC交OB于K,在KB上取一點(diǎn)J,使得AK=JK,連接AJ,作ET⊥OB于T,延長(zhǎng)PE交y軸于R,連接FM交ES于L.
∵AK=KJ,∠AKJ=90°,
∴∠AJK=45°,
∵∠AJK=∠JA+∠ABJ=45°,∠BAM+∠AOB=∠BAM+∠ABO=45°,
∴∠BAJ=∠BAM,
∴AJ平分∠MAB,
∴(角平分線的性質(zhì)定理,可以用面積法證明,見(jiàn)下面補(bǔ)充說(shuō)明),
設(shè)KM=a,則AM=,MJ=2-a,JB=2,AB=2,
∴ ,
整理得:a2-5a+4=0,
解得a=1或4(舍棄),
∴KM=1,OM=5,
∴M(5.0),
∵C(4,-2),
∴直線CM的解析式為y=2x-10,
∵直線OA的解析式為y=x
由,解得 ,
∴P(),
∵直線MA的解析式為y=-2x+10,
∵PE∥OB,
∴E(),
∵ER⊥OR,ET⊥OB,
∴∠ERF=∠ETM=∠ROT=90°,
∴ER=RT=,四邊形RETO是正方形,
∴TM=5-=,
∵∠RET=∠MEF=90°,
∴∠FER=∠MET,
∴△ERF≌△ETM(ASA),
∴RF=TM=,EF=EM,
∴OF=-=,
∴F(0,),
∵EF=EM,ES平分∠FEM,
∴ES⊥FM,
∴FL=LM,
∴L(),
∴直線ES的解析式為y=3x-,
令y=0,得到x=,
∴S(,0).
補(bǔ)充說(shuō)明:如圖,AJ平分∠MAB,則,
理由:作JE⊥AB于E,JF⊥AM交AM的延長(zhǎng)線于F.
∵AJ平分∠MAB,
∴EJ=JF,
∴
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小李購(gòu)買了一套一居室,他準(zhǔn)備將房子的地面鋪上地磚,地面結(jié)構(gòu)如圖所示,根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)單位:米,解答下列問(wèn)題:
用含m,n的代數(shù)式表示地面的總面積S;
已知客廳面積是衛(wèi)生間面積的8倍,且衛(wèi)生間、臥室、廚房面積的和比客廳還少3平方米,如果鋪1平方米地磚的平均費(fèi)用為100元,那么小李鋪地磚的總費(fèi)用為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=12,AC=BC=10,將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),得到△ADE,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<180°),點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,連接BD,BE.
(1)如圖,當(dāng)α=60°時(shí),延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F.
①求證:△ABD是等邊三角形;
②求證:BF⊥AD,AF=DF;
③請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng).
(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,過(guò)點(diǎn)D作DG垂直于直線AB,垂足為G,連接CE,當(dāng)∠DAG=∠ACB,且線段DG與線段AE無(wú)公共點(diǎn)時(shí),請(qǐng)直接寫出BE+CE的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)、B(0,6).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)拋物線向下平移幾個(gè)單位后經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,0)?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)計(jì)算:()×(﹣36)
(2)計(jì)算:100÷(﹣2)2﹣(﹣2)÷(﹣)
(3)化簡(jiǎn):(﹣x2+3xy﹣)﹣(﹣x2+4xy﹣y2)
(4)先化簡(jiǎn)后求值:x2+(2xy﹣3y2)﹣2(x2+yx﹣2y2),其中x=﹣,y=3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為8,B是數(shù)軸上位于點(diǎn)A左側(cè)一點(diǎn),且AB=22,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒.
(1)出數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù) ;點(diǎn)P表示的數(shù) (用含t的代數(shù)式表示)
(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),問(wèn)多少秒時(shí)P、Q之間的距離恰好等于2?
(3)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),問(wèn)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)追上點(diǎn)Q?
(4)若M為AP的中點(diǎn),N為BP的中點(diǎn),在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由,若不變,請(qǐng)你畫出圖形,并求出線段MN的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,用一張高為30,寬為的長(zhǎng)方形打印紙打印文檔,如果左右的頁(yè)邊距都為,上下頁(yè)邊距比左右頁(yè)邊距多.
(1)請(qǐng)用的代數(shù)式表示中間打印部分的面積.
(2)當(dāng)時(shí),中間打印部分的面積是多少平方厘米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料,請(qǐng)回答下列問(wèn)題.
材料一:我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,即已知三角形的三邊長(zhǎng),求它的面積,用現(xiàn)代式子表示即為:①(其中為三角形的三邊長(zhǎng),為面積),而另一個(gè)文明古國(guó)古希臘也有求三角形面積的“海倫公式”;……②(其中)
材料二:對(duì)于平方差公式:公式逆用可得:,例:
(1)若已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為4,5,7,請(qǐng)分別運(yùn)用公式①和公式②,計(jì)算該三角形的面積;
(2)你能否由公式①推導(dǎo)出公式②?請(qǐng)?jiān)囋,寫出推?dǎo)過(guò)程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線上部分點(diǎn)坐標(biāo)如表所示,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
x | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | … |
y | … | -6 | 0 | 4 | 6 | 6 | … |
A. 拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,6) B. 拋物線的對(duì)稱軸是在y軸的右側(cè);
C. 拋物線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0) D. 在對(duì)稱軸左側(cè),y隨x增大而減。
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