Question

如圖，AC是⊙O的直徑，點(diǎn)B，D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAB=∠D=30°．
（1）∠C的度數(shù)為

 

；
（2）求證：AE是⊙O的切線；
（3）當(dāng)AB=3時，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號和π）．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專題：計(jì)算題

分析：（1）直接根據(jù)圓周角定理得到∠C=∠D=30°；
（2）先根據(jù)圓周角定理由AC是⊙O的直徑得∠ABC=90°，則∠BAC=60°，所以∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到AE是⊙O的切線；
（3）連結(jié)OB，先判斷△OAB為等邊三角形，則OA=3，∠AOB=60°，所以∠BOC=120°，然后利用圖中陰影部分的面積=S_△AOB+S_扇形BOC和扇形的面積公式、等邊三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答：（1）解：∠C=∠D=30°；
故答案為30°；
（2）證明：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC=60°，
而∠EAB=30°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，
∴CA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線；
（3）解：連結(jié)OB，如圖，
∵∠BAC=60°，AB=3，
∴△OAB為等邊三角形，
∴OA=3，∠AOB=60°，
∴∠BOC=120°，
∴圖中陰影部分的面積=S_△AOB+S_扇形BOC
=

3

4

×3²+

120•π•32

360

=

9 3

4

+3π．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和扇形面積的計(jì)算．