Question

【題目】已知，△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）．以

AD為邊作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接CF．

⑴如圖1，當點D在邊BC上時，

求證：∠ADB=∠AFC；②請直接判斷結論∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；

⑵如圖2，當點D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，結論∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？請寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的數量關系，并寫出證明過程；

⑶如圖3，當點D在邊CB的延長線上時，且點A、F分別在直線BC的異側，其他條件不變，請補全圖形，并直接寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關系．

Answer 1

【答案】⑴①證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°

∵∠DAF=60°

∴∠BAC=∠DAF

∴∠BAD=∠CAF

∵四邊形ADEF是菱形，∴AD=AF

∴△ABD≌△ACF

∴∠ADB=∠AFC

②結論：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立．

⑵結論∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立．

∠AFC、，∠ACB、∠DAC之間的等量關系是

∠AFC=∠ACB－∠DAC（或這個等式的正確變式）

證明：∵△ABC為等邊三角形

∴AB=AC

∠BAC=60°

∵∠BAC=∠DAF

∴∠BAD=∠CAF

∵四邊形ADEF是菱形

∴AD=AF．

∴△ABD≌△ACF

∴∠ADC=∠AFC

又∵∠ACB=∠ADC＋∠DAC，

∴∠AFC=∠ACB－∠DAC

⑶補全圖形如下圖

∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關系是

∠AFC=2∠ACB－∠DAC

（或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°以及這兩個等式的正確變式）．

【解析】略