Question

8．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），C是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，B是y軸正半軸上一點(diǎn)，OB：AC=3：2，S_△ABC=3．
（1）求B、C的坐標(biāo)；
（2）D（0，5），連AD交BC于F，求證：DF=AF；
（3）如圖，P是△BOC內(nèi)一點(diǎn)，BP⊥OP，作射線CP，BE⊥CP于E，OF⊥OP交BE于F，求∠BPF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC=2x，則OB=3x，于是得到S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=3x²=3，求得B（0，3），C（-3，0）；
（2）由于直線BC的解析式為y=x+3，直線AD的解析式為y=5x+x求得交點(diǎn)坐標(biāo)F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），定定F是AD的中點(diǎn)，即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)射線CE與y軸交于M，直線BE與X軸交于N，根據(jù)垂直的定義得到∠BME=∠COM=90°，根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠CMO=∠BME，推出△CMO∽△BME，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠PCO=∠FBO，得到△POC≌△FOC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PO=FO，由于△POF是等腰直角三角形，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)AC=2x，則OB=3x，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=3x²=3，
∴x=1（舍去），或x=-1，
∴B（0，3），C（-3，0）；

（2）∵B（0，3），C（-3，0），
∴直線BC的解析式為：y=x+3，直線AD的解析式為：y=5x+x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=5x+5}\end{array}\right.$得x=-$\frac{1}{2}$，y=$\frac{5}{2}$，
∴F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴F是AD的中點(diǎn)，
∴DF=AF；

（3）設(shè)射線CE與y軸交于M，直線BE與X軸交于N，
∵BE⊥CP，
∴∠BME=∠COM=90°，∠CMO=∠BME，
∴△CMO∽△BME，∴∠PCO=∠FBO，
∵OF⊥OP，
∴∠POF=90°，
∵∠BOC=90°，
∴∠POC=∠FOB，
在△POC與△FOC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PCO=∠FBO}\\{∠POC=∠FOB}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△POC≌△FOC，
∴PO=FO，
∵△POF是等腰直角三角形，
∴∠FPO=45°，
∴∠BPF=90°-45°=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，兩直線相交或平行問(wèn)題．熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．