Question

如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN．
（1）求證：BM=EN；
（2）若DN：CM=1：4，求

MN

BM

的值．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,菱形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）若要證明BM=EN，則可轉(zhuǎn)化為證明△ABM≌△AEN即可；
（2）連接CN，過點N作NG⊥BC于G，由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形AMCN是菱形，由△CDN的面積與△CMN的面積比為1：4，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應底的比，可得DN：CM=1：4，然后設DN=x，由勾股定理可求得MN的長，繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠BCD=90°，∠C=∠BAD=90°，
∵∠BAM+∠MAN=∠EAN+∠MAN=90°，
∴∠BAM=∠EAN，
∵將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN，
∴∠C=∠E=90°，
∴∠B=∠E=90°，
在△ABM和△AEN中，

∠BAM=∠EAN AB=AE ∠B=∠E=90°

，
∴△ABM≌△AEN（ASA），
∴BM=EN；

（2）連接CN，過點N作NG⊥BC于G，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴四邊形CDNG是矩形，AD∥BC，
∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN，
由折疊的性質(zhì)可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，
∴∠ANM=∠AMN，
∴AM=AN，
∴四邊形AMCN是平行四邊形，
∵AM=CM，
∴四邊形AMCN是菱形，
∵△CDN的面積與△CMN的面積比為1：4，
∴DN：CM=1：4，
設DN=x，
則AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x，
∴BM=x，GM=3x，
在Rt△CGN中，NG=

CN2-CG2

=

15

x，
在Rt△MNG中，MN=

GM2+NG2

=2

6

x，
∴

MN

BM

=2

6

．

點評：此題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意折疊中的對應關系，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應用．