【題目】如圖,菱形ABCD中,AB=20,連接BD,點P是射線BC上一點(不與點B重合),AP與對角線BD交于點E,連接EC.
(1)求證:AE=CE;
(2)若sin∠ABD=,當(dāng)點P在線段BC上時,若BP=8,求△PEC的面積;
(3)若∠ABC=45°,當(dāng)點P在線段BC的延長線上時,請求出△PEC是等腰三角形時BP的長.
【答案】(1)見解析;(2);(3)20或10+10
【解析】
(1)由SAS證得△ABE≌△CBE,即可得出結(jié)論;
(2)連接AC,交BD于O,求出OA=4,OB=8,則AC=8,BD=16,S菱形ABCD=320,S△ABC=160, ,則S△ABP=S△ABC=64,易證∠ABE=∠PBE,得出,則S△BPE=S△ABP=,由,得出S△PEC= S△BPE即可得出結(jié)果;
(3)①由(1)得△ABE≌△CBE,則∠BAE=∠BCE,當(dāng)∠BAE=90°時,得△PEC是等腰直角三角形,過點E作∠FEC=45°交BC于F,則△FCE為等腰直角三角形,得出CE=CP=CF,EF=CF,證明∠BEF=∠EBC,得出EF=BF,則CF+CF=BC=20,求出CF=20(﹣1),即可得出結(jié)果;
②由(1)得△ABE≌△CBE,則∠AEB=∠CEB,當(dāng)∠BAE=105°時,∠AEB=52.5°,得出∠AEC=105°,∠CEP=75°,證明∠ECP=∠CEP,得出△PEC是等腰三角形,過點A作AN⊥BP于N,則△ABN是等腰直角三角形,得出AN=BN=AB=10,由tan30°= ,求出PN=10 ,即可得出結(jié)果.
(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠ABE=∠CBE,AB=BC,
在△ABE和△CBE中,
,
∴△ABE≌△CBE(SAS),
∴AE=CE;
(2)解:連接AC,交BD于O,如圖1所示:
∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠AOB=90°,OB=OD,OA=OC,AB=BC=20,
∵sin∠ABD= ,
∴OA=4,
∴AC=2OA=2×4=8,
BD=2OB=2×8=16,
∴S菱形ABCD=ACBD=×8×16=320,
∴S△ABC=S菱形ABCD=×320=160,
∵BP=8,
∴CP=BC-BP=20-8=12,
∵,
∴S△ABP=S△ABC=×160=64,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠ABE=∠PBE,
∴點E到邊AB、BP的距離相等,
∴,
∴S△BPE=S△ABP=×64=,
∵,
∴S△PEC=S△BPE=×=;
(3)解:①由(1)得:△ABE≌△CBE,
∴∠BAE=∠BCE,
當(dāng)∠BAE=90°時,則∠BCE=90°,
∴∠ECP=90°,
∵∠ABC=45°,
∴∠EBC=22.5°,∠CPE=45°,
∴△PEC是等腰直角三角形,
∴CE=CP,∠BEC=90°-22.5°=67.5°,
過點E作∠FEC=45°交BC于F,如圖2所示:
則△FCE為等腰直角三角形,
∴CE=CP=CF,EF=CF,∠BEF=∠BEC-∠FEC=67.5°-45°=22.5°,
∴∠BEF=∠EBC,
∴EF=BF,
∴CF+CF=BC=20,
∴CF==20(-1),
∴BP=BC+CP=BC+CF=20+20(-1)=20;
②由(1)得:△ABE≌△CBE,
∴∠AEB=∠CEB,
當(dāng)∠BAE=105°時,∠AEB=180°-105°-22.5°=52.5°,
∴∠AEC=2∠AEB=105°,
∴∠CEP=180°-105°=75°,
∵∠APB=180°-105°-45°=30°,
∴∠ECP=180°-75°-30°=75°,
∴∠ECP=∠CEP,
∴△PEC是等腰三角形,
過點A作AN⊥BP于N,如圖3所示:
則△ABN是等腰直角三角形,
∴AN=BN= AB=10,
∵∠APB=30°,
∴tan30°=,即,
∴PN=10,
∴BP=BN+PN=10+10;
綜上所述,△PEC是等腰三角形時BP的長為20或10+10 .
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了緩解市區(qū)日益擁堵的交通狀況,長沙市地鐵建設(shè)工程指揮部對長沙地鐵4號線茶子山站工程進行招標(biāo),接到了甲、乙兩個工程隊的指標(biāo)書,從指標(biāo)書中得知:甲工程隊單獨完成這項工程所需的時間是乙隊單獨完成這項工程所需的時間的3倍,若由甲隊先做2個月,剩下的工程由甲、乙兩隊合作4個月可以完成.
(1)求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需幾個月?
(2)已知甲隊每月的施工費用是76萬元,乙隊每月的施工費用是164萬元,工程預(yù)算的施工費用為1000萬元,為縮短工期以減少隊交通的影響,擬安排甲、乙兩隊合作完成這項工程,則工程預(yù)算的施工費用是否夠用?若不夠用,需追加預(yù)算多少萬元?請給出擬的判斷并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知反比例函數(shù)y1=的圖象與一次函數(shù)y2=ax+b的圖象交于點A(1,4)和點B(m,-2) .
(1)求這兩個函數(shù)的關(guān)系式;
(2)觀察圖象,直接寫出使得y1>y2成立的自變量x的取值范圍.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是BC,AD邊上的點,且AE=CF,若AC⊥EF,試判斷四邊形AECF的形狀,請說明理由.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于(﹣1,0),(3,0)兩點,則下列判斷中,錯誤的是( )
A.圖象的對稱軸是直線x=1
B.當(dāng)﹣1<x<3時,y<0
C.當(dāng)x>1時,y隨x的增大而減小
D.一元二次方程中ax2+bx+c=0的兩個根是﹣1和3
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交BC,AC于點D,E,連結(jié)EB,交OD于點F.
(1)求證:OD⊥BE;
(2)若DE=,AB=10,求AE的長;
(3)若△CDE的面積是△OBF面積的,求的值.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.∠ABC的平分線交AC于點O,以點O為圓心,OC為半徑.在△ABC同側(cè)作半圓O.
(1)求證:AB與⊙O相切;
(2)若AB=5,AC=4,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電器商場銷售每臺進價分別為400元、340元的A、B兩種型號的電風(fēng)扇,下表是該型號電風(fēng)扇近兩周的銷售情況:
銷售時段 | 銷售數(shù)量 | 銷售收入 | |
A種型號 | B種型號 | ||
第一周 | 3臺 | 5臺 | 3600元 |
第二周 | 4臺 | 10臺 | 6200元 |
(1)求A、B兩種型號的電風(fēng)扇的銷售單價;
(2)若該商場準(zhǔn)備用不多于1.14萬元的金額再采購這兩種型號的電風(fēng)扇共30臺,假設(shè)售價不變,那么商場應(yīng)采用哪種采購方案,才能使得當(dāng)銷售完這些風(fēng)扇后,商場獲利最多?最多可獲利多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,AB=5cm,AC=4cm,線段AC上有一動點E,連接BE,ED,∠BED=∠A=60°,設(shè)A,E兩點間的距離為xcm,C,D兩點間的距離為ycm.
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.下面是小明的探究過程,請補充完整.
(1)列表:如表的已知數(shù)據(jù)是根據(jù)A,E兩點間的距離x進行取點、畫圖、測量,分別得到了x與y的幾組對應(yīng)值:
x/cm | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.3 | 2.5 |
y/cm | 0 | 0.39 | 0.75 | 1.07 | 1.33 | 1.45 |
|
x/cm | 2.8 | 3.2 | 3.5 | 3.6 | 3.8 | 3.9 | |
y/cm | 1.53 | 1.42 | 1.17 | 1.03 | 0.63 | 0.35 |
請你補全表格;
(2)描點、連線:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(x,y),并畫出函數(shù)y關(guān)于x的圖象;
(3)探究性質(zhì):隨著自變量x的不斷增大,函數(shù)y的變化趨勢: ;
(4)解決問題:當(dāng)AE=2CD時,CD的長度大約是 cm.
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