Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，C、D為⊙O上的點，∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延長線于點E．

（1）求證：直線CE與⊙O相切；

（2）若AC＝8，AB＝10，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OC，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠ACO，推出∠DCO＝∠D，得到OC∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥CE，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠BCE＝∠BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．

解（1）證明：連接OC，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∵∠ACD＝2∠A，

∴∠DCO＝∠ACO＝∠A，

∵∠A＝∠D，

∴∠DCO＝∠D，

∴OC∥DE，

∵CE⊥DB，

∴OC⊥CE，

∴直線CE與⊙O相切；

（2）解：∵AB為⊙O直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝8，AB＝10，

∴BC＝6，

∵直線CE與⊙O相切，

∴∠BCE＝∠BAC，

∵∠CEB＝∠ACB＝90°，

∴△ABC∽△CBE，

∴，

∴，

∴CE＝．