Question

如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．
（1）求線段DE的長；
（2）設(shè)直線ED分別交OA、OB的延長線于點M和點N，試問線段ME、ED、DN之間有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若BC=1，則△DOE的面積=

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,三角形中位線定理,垂徑定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：（1）連接AB，如圖1，由垂徑定理可得D、E分別為BC、AC的中點，然后根據(jù)三角形中位線定理可得DE∥AB，ED=

1

2

AB，只需利用勾股定理求出AB的長，就可求出DE的長．
（2）連接OC并延長到點G，使得OG=OM，連接AB，如圖2．由DE∥AB可證到∠M=∠N=45°，從而有OG=OM=ON．由OE垂直平分AC可以證到∠AOE=∠COE，從而可以證到△OEM≌△OEG，就可得到ME=GE，∠M=∠EGO；同理可得：DN=DG，∠N=∠DGO．就可證到∠EGD=90°．根據(jù)勾股定理可得DE²=EG²+DG²，則有DE²=ME²+DN²．
（3）過點D作DH⊥OE于H，連接OC，如圖3，易得∠DOE=45°，OD=

15

2

．在Rt△OHD中可求出DH、OH的長，在Rt△DHE中可求出HE的長，就可求出△DOE的面積．

解答：解：（1）連接AB，如圖1．
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=

OA2+OB2

=2

2

．
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD=DC，AE=EC．
∴DE為△ABC的中位線．
∴DE∥AB，DE=

1

2

AB=

2

．
∴線段DE的長為

2

．

（2）ED²=ME²+DN²．
證明：連接OC并延長到點G，使得OG=OM，連接AB，如圖2．
∵DE∥AB（已證），
∴∠M=∠OAB=45°，∠N=∠OBA=45°．
∴∠M=∠N=45°．
∴OM=ON．
∴OM=ON=OG．
∵OE垂直平分AC，
∴OA=OC．
∴∠AOE=∠COE．
同理可得：∠COD=∠BOD．
在△OEM與△OEG中，

OM=OG ∠MOE=∠GOE OE=OE

．
∴△OEM≌△OEG．
∴ME=GE，∠M=∠EGO．
同理可得：DN=DG，∠N=∠DGO．
∴∠EGD=∠EG0+∠DGO=∠M+∠N=45°+45°=90°．
∴DE²=EG²+DG²．
∴DE²=ME²+DN²．

（3）過點D作DH⊥OE于H，連接OC，如圖3，
則有∠AOE=∠COE，∠COD=∠BOD（已證）．
∴∠DOE=∠COD+∠COE
=

1

2

（∠COD+∠BOD+∠AOE+∠COE）
=

1

2

∠AOB=45°．
∵∠ODB=90°，OB=2，BD=

1

2

BC=

1

2

，
∴OD=

OB2-BD2

=

15

2

．
在Rt△OHD中，
DH=OD•sin∠DOH=

15

2

×

2

2

=

30

4

，
OH=OD•cos∠DOH=

15

2

×

2

2

=

30

4

．
在Rt△DHE中，
HE=

DE2-DH2

=

( 2 )2-( 30 4 )2

=

2

4

．
∴S_△DOE=

1

2

OE•DH
=

1

2

×（

15

4

+

2

4

）×

15

4

=

15+ 30

32

．
故答案為：

15+ 30

32

．

點評：本題考查了垂徑定理、三角形中位線定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識，有一定的綜合性，而通過構(gòu)造全等三角形，將ME、ED、DN三條線段歸結(jié)到同一個三角形中是解決第（2）小題的關(guān)鍵．