Question

12．如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4cm，CD⊥AB于點D，動點P從點A出發(fā)，沿AC以2cm/s的速度向終點C運動，當點P出發(fā)后，過點P作PQ∥BC交折線AD-DC于點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQR，設(shè)四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形的面積為S（cm²），點P運動的時間為t（s）．
（1）當點Q在線段AD上時，用含t的代數(shù)式表示QR的長；
（2）求點R運動的路程長；
（3）當點Q在線段AD上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）直接寫出以點B、Q、R為頂點的三角形是直角三角形時t的值．

Answer 1

分析 （1）易證△APQ是等邊三角形，即可得到QR=PQ=AP=2t；
（2）過點A作AG⊥BC于點G，如圖②，易得點R運動的路程長是AG+CG，只需求出AG、CG就可解決問題；
（3）四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形可能是菱形，也可能是五邊形，故需分情況討論，然后運用割補法就可解決問題；
（4）由于直角頂點不確定，故需分情況討論，只需分∠QRB=90°和∠RQB=90°兩種情況討論，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖①，

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠B=60°．
∵PQ∥BC，
∴∠APQ=∠ACB=60°，∠AQP=∠B=60°，
∴△APQ是等邊三角形．
∴PQ=AP=2t．
∵△PQR是等邊三角形，
∴QR=PQ=2t；

（2）過點A作AG⊥BC于點G，如圖②，

則點R運動的路程長是AG+CG．
在Rt△AGC中，∠AGC=90°，sin60°=$\frac{AG}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos60°=$\frac{CG}{AC}$=$\frac{1}{2}$，AC=4，
∴AG=2$\sqrt{3}$，CG=2．
∴點R運動的路程長2$\sqrt{3}$+2；

（3）①當0＜t≤$\frac{2}{3}$時，如圖③，

S=S_菱形APRQ=2×S_正△APQ=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2t）²=2$\sqrt{3}$t²；
②當$\frac{2}{3}$＜t≤1時，如圖④

PE=PC•sin∠PCE=（4-2t）×$\frac{1}{2}$=2-t，
∴ER=PR-PE=2t-（2-t）=3t-2，
∴EF=ER•tanR=$\sqrt{3}$（3t-2）
∴S=S_菱形APRQ-S_△REF
=2$\sqrt{3}$t²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3t-2）²=-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$t²+6$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$；

（3）t=$\frac{2}{3}$或t=$\frac{4}{3}$
提示：①當∠QRB=90°時，如圖⑤，

cos∠RQB=$\frac{QR}{QB}$=$\frac{1}{2}$，
∴QB=2QR=2QA，
∴AB=3QA=6t=4，
∴t=$\frac{2}{3}$；
②當∠RQB=90°時，如圖⑥，

同理可得BC=3RC=3PC=3（4-2t）=4，
∴t=$\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、等邊三角形的面積公式（等邊三角形的面積等于邊長平方的$\frac{\sqrt{3}}{4}$倍）等知識，運用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵．