Question

7．已知點(diǎn)P是Rt△ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，連接AF，BE．求證：四邊形AEBF是平行四邊形；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P不是AB的中點(diǎn)，取AB的中點(diǎn)Q，連接EQ，F(xiàn)Q．試判斷△QEF的形狀，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合已知證明△BFQ≌△AEQ，進(jìn)一步得到對(duì)角線互相平分即可；
（2）延長FQ交AE于點(diǎn)D，證明△FBQ≌△DAQ，結(jié)合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可．

解答 證明：（1）如圖1，

∵點(diǎn)Q為AB中點(diǎn)，∴AQ=BQ．
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ．
在△BFQ和△AEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFQ=∠AEQ}\\{∠BQF=∠AQE}\\{BQ=AQ}\end{array}\right.$，
∴△BFQ≌△AEQ（AAS）．
∴QE=QF．
∴四邊形AEBF是平行四邊形；
（2）△QEF是等腰三角形，如圖2，

延長FQ交AE于點(diǎn)D，
由（1）知AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ．
在△FBQ和△DAQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBQ=DAQ}\\{AQ=BQ}\\{∠BQF=∠AQD}\end{array}\right.$，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD．
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，
∴QE=QF=QD，即QE=QF，
∴△QEF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查全等三角形的證明與應(yīng)用，會(huì)組織全等三角形的條件，能分析題意構(gòu)造全等三角形并證明運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．