【題目】如圖,點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),D是△ABC外的一點(diǎn),∠AOB=110°,∠BOC=,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,連接OD.
(1)求證:△OCD是等邊三角形;
(2)當(dāng)α=150°時(shí),試求證:△AOD是直角三角形;
(3)△AOD能否為等邊三角形?為什么?
(4)探究:當(dāng)α為多少度時(shí),△AOD是等腰三角形.(直接寫出答案)
【答案】(1)見解析;
(2)△AOD是Rt△.理由見解析;
(3)不能.理由:見解析;
(4)當(dāng)α=110°或125°或140°時(shí),△AOD是等腰三角形.
【解析】
(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OC=DC,根據(jù)等邊三角形的判定定理證明即可;
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠BOC=∠α=150°,結(jié)合圖形計(jì)算即可;
(3)用反證法,假設(shè)△AOD能否為等邊三角形,根據(jù)題意證明∠AOC+∠AOB+∠BOC不等于360°,推出矛盾;
(4)分∠AOD=∠ADO、∠AOD=∠OAD、∠ADO=∠OAD三種情況,根據(jù)等腰三角形的判定定理計(jì)算即可.
(1)證明:∵△BOC≌△ADC,
∴OC=DC.
∵∠OCD=60°,
∴△OCD是等邊三角形;
(2)△AOD是Rt△.
理由如下:
∵△OCD是等邊三角形,
∴∠ODC=60°,
∵△BOC≌△ADC,∠α=150°,
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°,
∴∠ADO=∠ADC∠ODC=150°60°=90°,
∴△AOD是Rt△;
(3)不能.理由:
由△BOC≌△ADC,得∠ADC=∠BOC=∠α.
若△AOD為等邊三角形,
則∠ADO=60°,
又∵∠ODC=60°,
∴∠ADC=∠α=120°.
又∵∠AOD=∠DOC=60°,
∴∠AOC=120°,
又∵∠AOB=110°,
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°=350°<360°.
∴△AOD不可能為等邊三角形;
(4)∵△OCD是等邊三角形,
∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,
∴∠AOD=360°∠AOB∠BOC∠COD=360°110°α60°=190°α,
∠ADO=∠ADC∠ODC=α60°,
∴∠OAD=180°∠AOD∠ADO=180°(190°α)(α60°)=50°.
①當(dāng)∠AOD=∠ADO時(shí),190°α=α60°,∴α=125°.
②當(dāng)∠AOD=∠OAD時(shí),190°α=50°,∴α=140°.
③當(dāng)∠ADO=∠OAD時(shí),α60°=50°,∴α=110°.
綜上所述:當(dāng)α=110°或125°或140°時(shí),△AOD是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為聲援揚(yáng)州“運(yùn)河申遺”,某校舉辦了一次運(yùn)河知識(shí)競(jìng)賽,滿分10分,學(xué)生得分為整數(shù),成績(jī)達(dá)到6分以上(包括6分)為合格,達(dá)到9分以上(包含9分)為優(yōu)秀.這次競(jìng)賽中甲乙兩組學(xué)生成績(jī)分布的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示.
(1)補(bǔ)充完成下面的成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析表:
組別 | 平均分 | 中位數(shù) | 方差 | 合格率 | 優(yōu)秀率 |
甲組 | 6.7 | 3.41 | 90% | 20% | |
乙組 | 7.5 | 1.69 | 80% | 10% |
(2)小明同學(xué)說:“這次競(jìng)賽我得了7分,在我們小組中排名屬中游略偏上!”觀察上表可知,小明是 組的學(xué)生;(填“甲”或“乙”)
(3)甲組同學(xué)說他們組的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組,所以他們組的成績(jī)好于乙組.但乙組同學(xué)不同意甲組同學(xué)的說法,認(rèn)為他們組的成績(jī)要好于甲組.請(qǐng)你給出兩條支持乙組同學(xué)觀點(diǎn)的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市為加強(qiáng)學(xué)生的安全意識(shí),組織了全市學(xué)生參加安全知識(shí)競(jìng)賽,為了解此次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的情況,隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的成績(jī),整理并制作出如下的不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖,如圖所示,請(qǐng)根據(jù)圖表信息解答以下問題。
(1)一共抽取了___個(gè)參賽學(xué)生的成績(jī);表中a=___;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“B”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù);
(4)某校共2000人,安全意識(shí)不強(qiáng)的學(xué)生(指成績(jī)?cè)?/span>70分以下)估計(jì)有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ABC=135°,CD=6,AB=2,則四邊形ABCD的面積為___________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)機(jī)器人從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā),沿?cái)?shù)軸正方向,以每前進(jìn)3步后退2步的程序運(yùn)動(dòng)。設(shè)該機(jī)器人每秒鐘前進(jìn)或后退1步,并且每步的距離是1個(gè)單位長(zhǎng),表示第秒時(shí)機(jī)器人在數(shù)軸上的位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)。給出下列結(jié)論:①;②;③;④。其中,正確的結(jié)論的序號(hào)是( )
A.①③B.②③C.①②③D.①②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我縣實(shí)施新課程改革后,學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、合作交流能力有很大提高,胡老師為了了解班級(jí)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的具體情況,對(duì)某班部分學(xué)生進(jìn)行了為期半個(gè)月的跟蹤調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分成四類,A:特別好;B:好;C:一般;D:較差;并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)本次調(diào)查中,胡老師一共調(diào)查了 名同學(xué),其中女生共有 ___名;
(2)將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)為了共同進(jìn)步,胡老師想從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中分別選取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí),請(qǐng)用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圖案由邊長(zhǎng)相等的黑、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成,第n個(gè)圖案中白色正方形的個(gè)數(shù)比黑色正方形的個(gè)數(shù)多_____.(用含有n的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市旅游景區(qū)有A,B,C,D,E等著名景點(diǎn),該市旅游部門統(tǒng)計(jì)繪制出2018年春節(jié)期間旅游情況統(tǒng)計(jì)圖(如圖),根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)2018年春節(jié)期間,該市A,B,C,D,E這五個(gè)景點(diǎn)共接待游客 萬人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中E景點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是 ,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(2)甲,乙兩個(gè)旅行團(tuán)在A,B,D三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè),這兩個(gè)旅行團(tuán)選中同一景點(diǎn)的概率是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,6),點(diǎn)B在x軸的正半軸上.若點(diǎn)P、Q在線段AB上,且PQ為某個(gè)一邊與x軸平行的矩形的對(duì)角線,則稱這個(gè)矩形為點(diǎn)P、Q的“涵矩形”。下圖為點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的示意圖.
(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0);
①若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合,則點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的周長(zhǎng)為 .
②若點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的周長(zhǎng)為6,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4),則點(diǎn)E(2,1),F(1,2),G(4,0)中,能夠成為點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的頂點(diǎn)的是 .
(2)四邊形PMQN是點(diǎn)P、Q的“涵矩形”,點(diǎn)M在△AOB的內(nèi)部,且它是正方形;
①當(dāng)正方形PMQN的周長(zhǎng)為8,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
②當(dāng)正方形PMQN的對(duì)角線長(zhǎng)度為/2時(shí),連結(jié)OM.直接寫出線段OM的取值范圍 .
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