【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(0,6),點Bx軸的正半軸上.若點P、Q在線段AB上,且PQ為某個一邊與x軸平行的矩形的對角線,則稱這個矩形為點P、Q的“涵矩形”。下圖為點P、Q的“涵矩形”的示意圖.

1)點B的坐標(biāo)為(3,0);

①若點P的橫坐標(biāo)為,點Q與點B重合,則點P、Q的“涵矩形”的周長為 .

②若點P、Q的“涵矩形”的周長為6,點P的坐標(biāo)為(14),則點E2,1),F1,2),G4,0)中,能夠成為點P、Q的“涵矩形”的頂點的是 .

2)四邊形PMQN是點P、Q的“涵矩形”,點M在△AOB的內(nèi)部,且它是正方形;

①當(dāng)正方形PMQN的周長為8,點P的橫坐標(biāo)為3時,求點Q的坐標(biāo).

②當(dāng)正方形PMQN的對角線長度為/2時,連結(jié)OM.直接寫出線段OM的取值范圍 .

【答案】1)①9,②(12);(2)①(1,5)或(51),②

【解析】

1)①根據(jù)題意求出PEEQ即可解決問題.
②求出點PQ的“涵矩形”的長與寬即可判斷.
2)①求出正方形的邊長,分兩種情形分別求解即可解決問題.
②點M在直線y=-x+5上運動,設(shè)直線y=-x+5x軸于F,交y軸于E,作ODEFD.求出OM的最大值,最小值即可判斷.

解:(1)①如圖1中,

由題意:矩形PEQF中,EQ=PF=3- ,
OE=EQ,

EPOA,
AP=PQ
PE=QF=OA=3,
∴點P、Q的“涵矩形”的周長=3+)×2=9
②如圖2中,

∵點P、Q的“涵矩形”的周長為6,
∴鄰邊之和為3
∵矩形的長是寬的兩倍,
∴點PQ的“涵矩形”的長為2,寬為1,
P14),F1,2),
PF=2,滿足條件,
F1,2)是矩形的頂點.

2)①如圖3中,

∵點P、Q的“涵矩形”是正方形,
∴∠ABO=45°,
∴點A的坐標(biāo)為(0,6),
∴點B的坐標(biāo)為(60),
∴直線AB的函數(shù)表達式為y=-x+6
∵點P的橫坐標(biāo)為3,
∴點P的坐標(biāo)為(3,3),
∵正方形PMQN的周長為8,
∴點Q的橫坐標(biāo)為3-2=13+2=5,
∴點Q的坐標(biāo)為(15)或(5,1).

②如圖4中,

∵正方形PMQN的對角線為,
PM=MQ=1,
易知M在直線y=-x+5上運動,設(shè)直線y=-x+5x軸于F,交y軸于E,作ODEFD,
OE=OF=5,
EF= ,
ODEF
ED=DF,
OD=EF=
OM的最大值為5,最小值為

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