【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D是AB邊上一點,以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E,連接DE并延長DE交BC的延長線于點F.
(1)求證:BD=BF;
(2)填空:
①若⊙O的半徑為5,tanB=,則CF= ;
②若⊙O與BF相交于點H,當∠B的度數為 時,四邊形OBHE為菱形.
【答案】(1)見解析;(2)①2;②60°
【解析】
(1)如圖1中,連接OE.利用三角形的中位線定理證明BF=2OE,再根據BD=2OE即可證明.
(2)①如圖1中,想辦法求出BC,BF即可解決問題.
②結論:當∠B=60°時,四邊形BOEH是菱形.如圖2中,連接OE,EH.首先證明OB∥EH,根據OE∥BC,推出四邊形BOEH是平行四邊形即可解決問題.
(1)證明:如圖1中,連接OE.
∵AE是⊙O的切線,
∴OE⊥AC,
∴∠AEO=∠ACB=90°,
∴OE∥BC,
∵OB=OD,
∴DE=EF,
∴BF=2OE,
∵BD=2OE,
∴BD=BF.
(2)①解:如圖1中,由題意BD=BF=2OE=10,
∵OE∥BC,
∴∠AOE=∠B,
∴tan∠AOE=tan∠B=
∵OE=5,
∴AE=,
∵AE2=ADAB,
∴=AD(AD+10),
解得AD=或﹣(舍棄)
∵∠ACB=90°,設AC=4k,BC=3k,
則有(10+)2=16k2+9k2,
解得k=或﹣(舍棄),
∴BC=3k=8,
∴CF=BF﹣BC=10﹣8=2.
故答案為2.
②解:結論:當∠B=60°時,四邊形BOEH是菱形.
理由:如圖2中,連接OE,EH.
∵BD=BF,∠B=60°,
∴△BDC是等邊三角形,
∴∠BDE=60°,
∵∠BHE+∠BDE=180°,
∴∠BHE=120°,
∴∠B+∠BHE=180°,
∴OB∥HE,
∵OE∥BH,
∴四邊形BOEH是平行四邊形,
∵OB=OE,
∴四邊形BOEH是菱形.
故答案為60°.
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【題目】如圖,經過和兩點的拋物線交軸于兩點,是拋物線上一動點,平行于軸的直線經過點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,軸上有點連接,設點到直線的距離為..小明在探究的值的過程中,是這樣思考的:當是拋物線的頂點時,計算的值;當不是拋物線的頂點時,猜想是一個定值.請你直接寫出的值,并證明小明的猜想.
(3)如圖2,點在第二象限,分別連接、,并延長交直線于兩點.若兩點的橫坐標分別為,試探究之間的數量關系.
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【題目】一方有難,八方支援. 在湖北武漢新冠肺炎疫情爆發(fā)期間,我市甲、乙兩所醫(yī)院分別有一男一女共4名醫(yī)護人員參與了支援湖北武漢抗擊疫情的任務.
(1)若從甲、乙兩醫(yī)院的援鄂醫(yī)護人員中分別隨機選1名,則所選的2名醫(yī)護人員性別相同的概率是 ;
(2)若從援鄂的4名醫(yī)護人員中隨機選2名,用列表或畫樹狀圖的方法求出這2名醫(yī)護人員來自同一所醫(yī)院的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線與交于點A.過點A作軸的垂線,分別交兩條拋物線于點B、C(點B在點A左側,點C在點A右側),則線段BC的長為____.
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【題目】在平面直角坐標系中,對于點和,給出如下定義:
如果,那么稱點為點的“伴隨點”.
例如:點的“伴隨點”為點;點的“伴隨點”為點.
(1)直接寫出點的“伴隨點”的坐標.
(2)點在函數的圖象上,若其“伴隨點”的縱坐標為2,求函數的解析式.
(3)點在函數的圖象上,且點關于軸對稱,點的“伴隨點”為.若點在第一象限,且,求此時“伴隨點”的橫坐標.
(4)點在函數的圖象上,若其“伴隨點”的縱坐標的最大值為,直接寫出實數的取值范圍.
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【題目】如圖甲,拋物線y=ax2+bx﹣1經過A(﹣1,0),B(2,0)兩點,交y軸于點C.
(1)求拋物線的表達式和直線BC的表達式.
(2)如圖乙,點P為在第四象限內拋物線上的一個動點,過點P作x軸的垂線PE交直線BC于點D.
①在點P運動過程中,四邊形ACPB的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,說明理由.
②是否存在點P使得以點O,C,D為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求出滿足條件的點P的坐標;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,點A(-2,a),C(3a-10,1)是反比例函數(x<0)圖象上的兩點.
(1)求m的值;
(2)過點A作AP⊥x軸于點P,若直線y=kx+b經過點A,且與x軸交于點B,當∠PAC=∠PAB時,求直線AB的解析式.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是邊AD上的一點,將△CDE沿CE折疊得到△CFE,點F恰好落在邊AB上.
(1)證明:△AEF∽△BFC.
(2)若AB=,BC=1,作線段CE的中垂線,交AB于點P,交CD于點Q,連結PE,PC.
①求線段DQ的長.
②試判斷△PCE的形狀,并說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,將四邊形ABCD放在每個小正方形的邊長為1的網格中,點A.B、C、D均落在格點上.
(Ⅰ)計算AD2+DC2+CB2的值等于_____;
(Ⅱ)請在如圖所示的網格中,用無刻度的直尺,畫出一個以AB為一邊的矩形,使該矩形的面積等于AD2+DC2+CB2,并簡要說明畫圖方法(不要求證明).
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