Question

如圖，點A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延長線相交于點C．若AB是⊙O的直徑，D是BC的中點．
（1）試判斷AB、AC之間的大小關系，并給出證明；
（2）在上述題設條件下，當△ABC為正三角形時，點E是否AC的中點？為什么？

Answer 1

考點：圓周角定理,全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質,圓心角、弧、弦的關系

專題：

分析：（1）連接AD，根據圓周角定理求出∠ADB=90°，根據線段垂直平分線性質推出即可；
（2）根據圓周角定理求出∠AEB=90°，根據等腰三角形性質求出即可．

解答：（1）AB=AC，
證明：連結AD，
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ADB=90°，
 即AD⊥BC，
∵BD=DC，
∴AB=AC；

（2）解：當△ABC為正三角形時，E是AC的中點，
連接BE，
∵AB為直徑，
∴∠BEA=90°，
即BE⊥AC，
∵△ABC為正三角形，
∴AE=EC，
即E是AC的中點．

點評：本題考查了等邊三角形性質，圓周角定理，等腰三角形性質，線段垂直平分線性質的應用，主要考查學生的推理能力．