Question

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點F（2，2），過函數(shù)y=

k

x

（x＞0，常數(shù)k＞0）圖象上一點A（

1

2

，a）作y軸的平行線交直線l：y=-x+2于點C，且AC=AF．
（1）求a的值，并寫出函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的解析式；
（2）過函數(shù)y=

k

x

（x＞0）圖象上任意一點B，作y軸的平行線交直線l于點D，是否總有BD=BF成立？并說明理由；
（3）如圖2，若P是函數(shù)y=

k

x

（x＞0）圖象上的動點，過點P作x軸的垂線交直線l于點N，分別過點P、N作y的垂線交y軸于點Q、M，問是否存在點P，使得矩形PQMN的周長取得最小值？若存在，請求出此時點P的坐標及矩形PQMN的周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求出AC、AF的表達式，根據(jù)AC=AF求出a的值，然后利用待定系數(shù)法求出a的值即可；
（2）設(shè)B（m，

2

m

）（m＞0），則D（m，-m+2），根據(jù)勾股定理求出BF的長即可；
（3）結(jié)合（2）可知，當且僅當P、Q、F三點共線時，矩形PQMN的周長取到最小值=2FE=4．

解答：解：（1）AC=a-

3

2

，AF=

9 4 +(a-2)2

，
∵AC=AF，
∴a=4，
∴點A（

1

2

，4），
∴k=2，
∴y=

2

x

（x＞0）．
（2）設(shè)B（m，

2

m

）（m＞0），則D（m，-m+2），
∴BD=

2

m

-（-m+2）=

2

m

+m-2，
BF=

(m-2)2+( 2 m -2)2

，
∴BD=BF．
（3）答：存在滿足題設(shè)條件的點P．
解法1：設(shè)直線l交y軸于點E，連接EF，QF，由（2）得，PF=PN，
矩形PQMN的周長=2（PN+PQ）=2（PF+PQ），
∵PF+PQ≥QF≥EF，
∴當且僅當P、Q、F三點共線時，矩形PQMN的周長取到最小值=2FE=4，
此時，點P的坐標為（1，2）．
解法2：設(shè)P（m，

2

m

）（m＞0），則N（m，-m+2），
∴矩形PQMN的周長=2（PN+PQ）=2（

2

m

+m-2+m）=

4

m

+4m-4=（

2

m

-2

m

）²+4，
∴當

2

m

-2

m

=0，即m=1，P（1，2）時，矩形PQMN的周長取得最小值為4．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及勾股定理、存在性問題，綜合性很強，要靈活處理，同時注意從多角度解題．