Question

18．如圖，在△ABC中，AB＞AC，在邊AB上，取點(diǎn)D，在AC上取點(diǎn)E，使AD=AE，直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．
求證：BP•CE=BD•CP．

Answer 1

分析 如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交PD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．則△PCE∽△PBF，所以該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即$\frac{BF}{CE}=\frac{BP}{CP}$，根據(jù)平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及對(duì)頂角的定義得BF=BD．則$\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CE}$，等量代換得到BP：CP=BD：CE，即可得到結(jié)論．

解答 證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交PD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．則△PCE∽△PBF，
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{BP}{CP}$，
∵BF∥AC，
∴∠1=∠2．
又∵AD=AE，
∴∠2=∠4，
∠1=∠3=∠4，
∴BF=BD．
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CE}$，
∴BP：CP=BD：CE，
∴BP•CE=BD•CP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形．