Question

【題目】如圖，直線與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿AO方向向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為()．

（1）寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)t為何值時(shí)，的面積最大；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似？并直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A(6，0)，B(0，8)；（2） ，當(dāng)t=3s時(shí)，取得最大值；（3）當(dāng)t= s時(shí)，△APQ與△AOB相似．此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）．

【解析】

（1）分別令y=0,x=0求解即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)

（2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示AP、AQ，再利用∠OAB的正弦求出點(diǎn)Q到AP的距離，然后利用三角形的面積列式整理即可

（3）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，分∠APQ=90°和∠AQP=90°兩種情況，利用∠OAB的余弦列式計(jì)算即可得解

解：（1）令y=0，則﹣ x+8=0，

解得x=6，

x=0時(shí)，y=8，

∴OA=6，OB=8，

∴點(diǎn)A（6，0），B（0，8）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB===10，

∵點(diǎn)P的速度是每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位，

∴AP=2t，

AQ=AB﹣BQ=10﹣t，

∴點(diǎn)Q到AP的距離為AQsin∠OAB=（10﹣t）× =（10﹣t），

∴△AQP的面積S=×2t×（10﹣t）=﹣（t2﹣10t）=﹣（t﹣5）2+20，

∵﹣＜0，0＜t≤3，

∴當(dāng)t=3時(shí)，△AQP的面積最大，S最大=﹣（3﹣5）2+20= ；

（3）若∠APQ=90°，則cos∠OAB= ，

∴ = ，

解得t= ，

若∠AQP=90°，則cos∠OAB= ，

∴ = ，

解得t= ，

∵0＜t≤3，

∴t的值為 ，

此時(shí)，OP=6﹣2×=，

PQ=APtan∠OAB=（2×）×=，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），

綜上所述，t=秒時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）