Question

9．如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）證明：DE為⊙O的切線；
（2）若BC=4，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由平行線的判定定理可得OD∥AC，利用平行線的性質(zhì)得∠ODE=∠DEA=90°，可得DE為⊙O的切線；
（2）連接CD，由BC為直徑，利用圓周角定理可得∠ADC=90°，由∠A=30°，AC=BC=4，利用銳角三角函數(shù)可得AD．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∴∠ODB=∠A，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEA=90°，
∴DE為⊙O的切線；

（2）解：連接CD，
∵BC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=30°，
又∵AC=BC=4，
∴AD=AC•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓周角定理，平行線的性質(zhì)及判定定理，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．