Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)拋物線頂點(diǎn)為P，若∠PAB=30°，則b²-4ac的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：解答此題可分以下幾步：①設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)分別為x₁、x₂，求出用x₁、x₂表示的AB長(zhǎng)度的表達(dá)式；
②求出拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)表達(dá)式，其絕對(duì)值即為△APB的高；
③根據(jù)∠PAB=30°通過三角函數(shù)建立起AB的長(zhǎng)度與△APB的高的關(guān)系式；
④將b²-4ac看做一個(gè)整體，解方程即可得到正確答案．

解答：解：如圖，作PD⊥x軸于D，
設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)分別為x₁、x₂，
則AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x 1x2

=

(- b a )2-4• c a

=

b2-4ac

|a|

；
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
則DP的長(zhǎng)為|

4ac-b2

4a

|，
由拋物線是軸對(duì)稱圖形可知，△APB為等腰三角形，
∵∠PAD=30°，
∴DP=tan30°•AD=

1

2

tan30°•AB，
即|

4ac-b2

4a

|=

1

2

×

3

3

×

b2-4ac

|a|

，
兩邊平方得，

(4ac-b2)2

16a2

=

b2-4ac

12a2

，
去分母得，3（b²-4ac）²=4（b²-4ac），
移項(xiàng)得，3（b²-4ac）²-4（b²-4ac）=0，
（b²-4ac）[3（b²-4ac）-4]=0，
解得b²-4ac=0或b²-4ac=

4

3

．
由于拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，故△＞0，
即b²-4ac=

4

3

．
故答案為

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)與兩點(diǎn)間的距離的關(guān)系、拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)及等腰三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)．