Question

【題目】如圖，和是有公共頂點(diǎn)的直角三角形，，點(diǎn)為射線，的交點(diǎn)．

（1）如圖1，若和是等腰三角形，求證：；

（2）如圖2，若，問(wèn)：（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理．

（3）在（1）的條件下，，，若把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）（1）中結(jié)論成立，詳見(jiàn)解析；（3）或

【解析】

（1）利用SAS證，可得出；

（2）根據(jù)直角三角形邊的關(guān)系，可得，從而證，最終得出角度關(guān)系；

（3）存在2種情況，一種是點(diǎn)E在線段AB上，另一種是點(diǎn)E在AB的反向延長(zhǎng)線上，分別利用相似的關(guān)系推導(dǎo)可得．

（1）和是等腰直角三角形，，

，，．

．

．

（2）（1）中結(jié)論成立，理由：

在中，，

，

在中，，

，

．

，

，

．

．

（3）情況一：如下圖，點(diǎn)E在線段AB上

由第（1）問(wèn)可得：△BAD≌△CAE

∴∠ABD=∠ACE

∵∠ADB=∠PDC

∴△ABD∽△PCD

∴

∵AB=AC=6，AD=AE=4,

∴DC=10

∴在Rt△BAD中，DB=

∴DP=

∴PB=

情況二：如下圖，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上

同理可證：△AEC∽△PEB

∴

∵AB=AC=6，AD=AE=4,

∴EB=10

∴在Rt△AEC中，EC=

∴BP=

∴綜上得：的長(zhǎng)為或