Question

【題目】如圖1所示，已知BC∥OA, ∠B=∠A=120°.

（1）證明：OB∥AC;

（2）如圖2所示，若點(diǎn)E,F在BC上，且∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF，求∠EOC的度數(shù).

（3）在（2）的條件下，若左右平移AC，如圖3所示，那么∠OCB∶∠OFB的比值是否隨之發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變化，請求出這個比值.

（4）在（2）和（3）的條件下，當(dāng)∠OEB=∠OCA時，求∠OCA的度數(shù).

Answer 1

【答案】(1) 答案見詳解，(2) 答案見詳解,(3) 答案見詳解,(4) 答案見詳解.

【解析】

（1）由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明．

（2）由∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC=∠EOF+∠FOC=（∠BOF+∠FOA）=∠BOA，算出結(jié)果．

（3）先得出結(jié)論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化，理由為：由BC與AO平行，得到一對內(nèi)錯角相等，由∠FOC=∠AOC，等量代換得到一對角相等，再利用外角性質(zhì)等量代換即可得證；

（4）設(shè)∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，根據(jù)外角的性質(zhì)分別用α和β表示出∠OEB和∠OCA，由∠OEB=∠OCA，即可得出α=β=15°，求出∠OCA即可.

（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，又∵∠B=∠A，
∴∠A+∠O=180°，
∴OB∥AC；
（2）∵∠B+∠BOA=180°，∠B=120°，
∴∠BOA=60°，
∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE=∠EOF，又∵∠FOC=∠AOC，
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=（∠BOF+∠FOA）

=∠BOA=30°；
（3）結(jié)論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化．理由為：
∵BC∥OA，
∴∠FCO=∠COA，
又∵∠FOC=∠AOC，
∴∠FOC=∠FCO，
∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB=1：2；
（4）由（1）知：OB∥AC，
則∠OCA=∠BOC，
由（2）可以設(shè)：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，
則∠OCA=∠BOC=2α+β，
∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β，
∵∠OEB=∠OCA，
∴2α+β=α+2β，
∴α=β，
∵∠AOB=60°，
∴α=β=15°，
∴∠OCA=2α+β=30°+15°=45°．