Question

12．如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90度，AB=AD，若這個四邊形的面積為24，則AC的長是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過A作AE⊥DC，作AF⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)F，利用三個角為直角的四邊形為矩形得到AECF為矩形，利用矩形的四個角為直角得到∠EAF為直角，利用等式的性質(zhì)得到∠BAF=∠DAE，再由一對直角相等，AB=AD，利用AAS得到三角形ADE與三角形ABF全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AE=AF，可得出四邊形AECF為正方形，三角形ADE面積與三角形AFB面積相等，進(jìn)而得到四邊形ABCD面積等于正方形AECF面積，求出正方形的邊長即為AE的長，在等腰直角三角形ACE中，利用勾股定理即可求出AC的長．

解答 解：過A作AE⊥DC，作AF⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)F，

∵∠AEC=∠AFC=∠ECF=90°，
∴四邊形AECF為矩形，
∴∠EAF=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠EAB=∠FAB+∠EAB=90°，
∴∠BAF=∠DAE，
在△ADE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠F=90°}\\{∠BAF=∠DAE}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABF（AAS），
∴AE=AF，S_△ABE=S_△ADF，
∴四邊形AECF是正方形，
∴S_{四邊形ABCD}=S_{正方形AECF}=24cm²，
∴AE=2$\sqrt{6}$cm，
∵△AEC為等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$AE=4$\sqrt{3}$cm．
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．