Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程mx²-（m+3）x+3=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m為正整數(shù)，設(shè)方程的兩個整數(shù)根分別為p，q（p＜q），求點P（p，q）的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，分別在y軸和直線y=x上取點M、N，使△PMN的周長最小，求△PMN的周長．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,解一元二次方程-公式法,根的判別式

專題：

分析：（1）利用根的判別式列出不等式，然后求解即可；
（2）利用求根公式法表示出方程的兩個根，再根據(jù)x是整數(shù)、m是正整數(shù)求出p、q，然后寫出坐標(biāo)即可；
（3）取點P關(guān)于y軸的對稱點P′，點P關(guān)于直線y=x的對稱點P″，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接P′P″與y軸的交點即為點M，與直線y=x的交點即為點N，利用勾股定理列式求出P′P′，即為△PMN的周長最小值．

解答：（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx²-（m+3）x+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=[-（m+3）]²-4m×3=m²-6m+9=（m-3）²，m≠0，
∵△＞0，
∴m≠3，
即m的取值范圍為m≠0且m≠3；

（2）解：由求根公式，得x=

(m+3)±(m-3)

2m

，
∴x₁=1，x₂=

3

m

，
∵m為正整數(shù)，方程根為整數(shù)，
∴m=1，m=3，
∵m≠3，
∴m=1，
∴x=2+1=3，
∵p＜q，
∴p=1，q=3，
∴P（1，3）；

（3）作點P關(guān)于y軸的對稱點P′，
∴P′（-1，3），
作點P關(guān)于直線y=x的對稱點P″，
∴P″（3，1），
連接P′P″，與y軸和直線y=x的交點分別是點M、N，
即△PMN的周長最小，
由勾股定理得，P′P″=

[3-(-1)]2+(3-1)2

=2

5

，
即△PMN的周長最小值為2

5

．

點評：本題考查了利用求根公式法解一元二次方程，根的判別式，利用軸對稱確定最短路線問題，（2）判斷出m的值是解題的關(guān)鍵，（3）難點在于確定出點M、N的位置．