Question

5．如圖，在直角坐標系中，點A（-3，0）和點B（1，0）以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸負半軸上一點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸負半軸交于點E，PD=PE，連接DE．
（1）求點D的坐標；
（2）求直線DE的解析式；
（3）求△ADF的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質，可得AD的長，AO的長，可得D點坐標；
（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質，可得OE的長，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得F點坐標，根據(jù)線段的和差，可得AF的長，根據(jù)勾股定理，可得DF的長，根據(jù)三角形的周長公式，可得答案．

解答 解：（1）由四邊形ABCD是正方形，得
AD=AB=1-（-3）=4，AO=3，
D點坐標為（-3，4）；
（2）由DP⊥PE于E，PD=PE，得
∠DPE=∠DPA+∠EPO=90．，
又∵∠PDA+∠DPA=90°，
∴∠PDA=∠EPO．
在△PDA和△EPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDA=∠EPO}\\{∠PAD=∠EOP}\\{PE=EP}\end{array}\right.$，
∴△PDA≌△EPO （AAS），
∴AD=PO=4，PA=OE．
PA=OP-AO=4-3=1，
OE=1，即E（0，-1）．
設DE的解析式為y=kx+b，將E、D點坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=4}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
DE的解析式為y=-$\frac{5}{3}$x-1；
（3）當y=0時，-$\frac{5}{3}$x-1=0，解得x=-$\frac{3}{5}$，
即F（-$\frac{3}{5}$，0）．
AF的長為-$\frac{3}{5}$-（-3）=$\frac{12}{5}$，
由勾股定理，得
DF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{33}}{5}$，
C_△ADF=AD+AF+DF=4+$\frac{12}{5}$+$\frac{4\sqrt{33}}{5}$=$\frac{32+4\sqrt{33}}{5}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用正方形的性質得出AD的長是解題關鍵；利用全等三角形的判定與性質得出OE的長是解題關鍵；利用勾股定理得出DF的長是解題關鍵．