Question

閱讀材料：
鄰邊不相等的矩形紙片，剪去一個(gè)正方形，余下一個(gè)四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片中再剪去一個(gè)正方形，又余下一個(gè)四邊形，稱為第二次操作；…依此類推，若第n次操作余下的四邊形是正方形，則稱原矩形為n階準(zhǔn)正方形，
如圖1，矩形ABCD中，若AB=1，BC=2，則矩形ABCD為1階準(zhǔn)正方形．
（1）理解與判斷：
①如圖2，矩形ABCD中，AB=1，BC=5，則矩形ABCD是

 

階準(zhǔn)正方形；
②如圖3，將矩形ABCD沿BE折疊（點(diǎn)E在AD上），使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，得到四邊形ABFE．可以判斷四邊形ABFE的形狀是

 

；
剪去四邊形ABFE發(fā)現(xiàn)四邊形EFCD的邊長(zhǎng)CF=1，CD=2，則原矩形ABCD是

 

階準(zhǔn)正方形；
（2）計(jì)算與探究：
①已知矩形ABCD的鄰邊長(zhǎng)為1，a（a＞1），且是3階準(zhǔn)正方形，則a的值是

 

（寫(xiě)出所有滿足題意的a）；
②已知矩形ABCD鄰邊長(zhǎng)分別為m，n（m＞n），滿足m=2013n+r，n=8r，則矩形ABCD是

 

階準(zhǔn)正方形．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）①通過(guò)操作畫(huà)圖可以得出第一次應(yīng)該減去是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，就剩下一個(gè)長(zhǎng)為4寬為1的矩形，再進(jìn)行第二次操作減去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，就剩下一個(gè)長(zhǎng)為3寬為1的矩形，再進(jìn)行第三次操作減去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，就剩下一個(gè)長(zhǎng)為2寬為1的矩形，再進(jìn)行第四次操作減去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則余下的就是一個(gè)邊長(zhǎng)為1正方形，故得出結(jié)論4階準(zhǔn)正方形；
②由折紙可以得出AB=BF，AE=FE，從而得出△AEB≌△FEB，就可以得出AE=FE，∠BFE=∠A=90°，就有四邊形ABFE是矩形，就有矩形ABFE為正方形；
（2）①由n階準(zhǔn)正方形的意義通過(guò)畫(huà)圖就可以求出a的值；
②由條件可知m=2013n+r，n=8r，再通過(guò)操作就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）①由題意得，第一次操作應(yīng)該減去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，
∴就剩下一個(gè)長(zhǎng)為4寬為1的矩形，再進(jìn)行第二次操作減去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，就剩下一個(gè)長(zhǎng)為3寬為1的矩形，再進(jìn)行第三次操作減去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，就剩下一個(gè)長(zhǎng)為2寬為1的矩形，再進(jìn)行第四次操作減去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則余下的就是一個(gè)邊長(zhǎng)為1正方形，
∴共操作4次．
∴這個(gè)矩形是4階準(zhǔn)正方形．

②∵△AEB與△FEB關(guān)于直線BE成軸對(duì)稱，
∴△AEB≌△FEB，
∴AE=FE，∠BFE=∠A．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABF=90°，
∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°，
∴四邊形ABFE為矩形．
∵AE=FE，
∴矩形ABFE為正方形；
∵再進(jìn)行第二次操作減去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則余下的就是一個(gè)邊長(zhǎng)為1正方形，
∴原矩形ABCD是2階準(zhǔn)正方形；

（2）①由題意，得
如圖1，

∴a的值=4，
如圖2，

∴a的值=2.5，
同理可得出：a=

5

3

或

4

3

，
∴a的值為4或2.5或

5

3

或

4

3

；
②由題意，得
∵m=2013n+r，n=8r，
∴是2013+（8-1）=2020階準(zhǔn)正方形．
故答案為：4；正方形，2；4或2.5或

5

3

或

4

3

；2020．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形綜合題，矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，分類討論思想在幾何題目中的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形是關(guān)鍵．