【題目】如圖①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC= ,D、E是AB邊上的兩個動點,滿足∠DCE=45°.
(1)如圖②,把△ADC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△BKC,連結(jié)EK.
①求證:△DCE≌△KCE.
②求證:DE2=AD2+BE2
③思考與探究:當點D從點A向AB的中點運動的過程中,請嘗試寫出DE長度的變化趨勢 ;并直接寫出DE長度的最大值或最小值 (標明最大值或最小值).
(2)如圖③,若△CDE的外接圓⊙O分別交AC,BC于點F、G,求證:CF:CG=BE:AD.

【答案】
(1)證明:①如圖1,由旋轉(zhuǎn)得:△ACD≌△BCK,

∴CD=CK,∠ACD=∠BCK,

∵∠DCE=45°,∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°,

∴∠BCK+∠BCE=45°,

即∠KCE=45°,

∴∠KCE=∠DCE,

∵CE=CE,

∴△DCE≌△KCE(SAS);

②如圖2,∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠A=∠ABC=45°,

∵△DCE≌△KCE,

∴DE=EK,∠KBC=∠A=45°,KB=AD,

∴∠KBE=45°+45°=90°,

在Rt△KBE中,KE2=BE2+KB2,

∴DE2=AD2+BE2;|當D從A到D時,DE越來越小,再繼續(xù)運動到中點時,越來越大;|DE最大值=1,DE最小值=2 ﹣2

③∵∠ACB=90°,AC=BC=

∴AB= =2,

設(shè)AD=x,DE=y,則BE=2﹣x﹣y,

當點D從點A向AB的中點運動的過程中,0≤y≤1,0≤x≤1,AD=BE時,DE最小,如圖2,BE=BK=x,

則x=2﹣x﹣y,

y=2﹣2x,

∵KE2=BE2+KB2,

∴y2=x2+x2

(2﹣2x)2=2x2,

x2﹣4x+2=0,

解得:x1=2+ (不符合題意,舍去),x2=2﹣

∴y=2﹣2(2﹣ )=2 ﹣2,

即DE的最小值是:2 ﹣2,

當D與A重合或D與AB的中點重合時,DE最大,最大值是1;

∴DE長度的變化趨勢是:當D從A到D時,DE越來越小,再繼續(xù)運動到中點時,越來越大;

故答案為:當D從A到D時,DE越來越小,再繼續(xù)運動到中點時,越來越大;DE最大值=1,


(2)如圖3,把△ADC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△BKC,連結(jié)EK,EG,

∵D、C、E、G四點共圓,

∴∠EGB=∠CDE,

∵∠DCE=∠EBC=45°,

在△CDE和△GEB中,∴∠CED=∠GEB,

由①得:△CDE≌△CKE,

∴∠CED=∠CEK,

∴∠CEK=∠GEB,

∴∠CEK﹣∠GEK=∠GEB﹣∠GEK,

即∠CEG=∠KEB,

∵∠CEG=∠CFG,

∴∠CFG=∠KEB,

∵∠ACB=∠EBK=90°,

∴△FCG∽△EBK,

由①得:△ACD≌△BCK,

∴AD=BK,

∴CF:CG=BE:AD.


【解析】(1)①由旋轉(zhuǎn)得:CD=CK,∠ACD=∠BCK,證明∠KCE=∠DCE=45°,根據(jù)SAS證明:△DCE≌△KCE;②先求∠KBE=45°+45°=90°,在Rt△KBE中,利用勾股定理可得結(jié)論;③如圖2,本題可以看作是周長一定,即直角△EBK的周長為2,斜邊DE的變化趨勢,發(fā)現(xiàn)根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可知:DE的大小取決于直角△EBK斜邊中線的大小,當直角△EBK是等腰直角三角形(設(shè)兩直角邊分別為a、b時,斜邊為 ,因為a2+b2≥2ab,當a=b時, 有最小值)時,中線最短,由此計算DE的最小值,當D與A重合或D與AB的中點重合時,DE最大,最大值是1;(2)如圖3,同①作輔助線,證明△FCG∽△EBK,列比例式得 ,由①得:△ACD≌△BCK, AD=BK,所以CF:CG=BE:AD.

練習冊系列答案
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