Question

【題目】已知甲同學(xué)手中藏有三張分別標(biāo)有數(shù)字 ， ，1的卡片，乙同學(xué)手中藏有三張分別標(biāo)有1，3，2的卡片，卡片外形相同．現(xiàn)從甲乙兩人手中各任取一張卡片，并將它們的數(shù)字分別記為a，b．
（1）請(qǐng)你用樹形圖或列表法列出所有可能的結(jié)果．
（2）現(xiàn)制定這樣一個(gè)游戲規(guī)則：若所選出的a，b能使得ax2+bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則稱甲獲勝；否則稱乙獲勝．請(qǐng)問這樣的游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)你用概率知識(shí)解釋．

Answer 1

【答案】
（1）解：畫樹狀圖得：

∵（a，b）的可能結(jié)果有（ ，1）、（ ，3）、（ ，2）、（ ，1）、（ ，3）、（ ，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2），

∴（a，b）取值結(jié)果共有9種；

（2）解：∵當(dāng)a= ，b=1時(shí)，△=b2﹣4ac=﹣1＜0，此時(shí)ax2+bx+1=0無實(shí)數(shù)根，

當(dāng)a= ，b=3時(shí)，△=b2﹣4ac=7＞0，此時(shí)ax2+bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)a= ，b=2時(shí)，△=b2﹣4ac=2＞0，此時(shí)ax2+bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)a= ，b=1時(shí)，△=b2﹣4ac=0，此時(shí)ax2+bx+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)a= ，b=3時(shí)，△=b2﹣4ac=8＞0，此時(shí)ax2+bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)a= ，b=2時(shí)，△=b2﹣4ac=3＞0，此時(shí)ax2+bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)a=1，b=1時(shí)，△=b2﹣4ac=﹣3＜0，此時(shí)ax2+bx+1=0無實(shí)數(shù)根，

當(dāng)a=1，b=3時(shí)，△=b2﹣4ac=5＞0，此時(shí)ax2+bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)a=1，b=2時(shí)，△=b2﹣4ac=0，此時(shí)ax2+bx+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴P（甲獲勝）=P（△＞0）= ＞P（乙獲勝）= ，

∴這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲有利，不公平．

【解析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)樹狀圖即可求得所有等可能的結(jié)果；（2）利用一元二次方程根的判別式，即可判定各種情況下根的情況，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙獲勝的概率，比較概率大小，即可確定這樣的游戲規(guī)是否公平．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的求根公式和列表法與樹狀圖法，需要了解根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率才能得出正確答案．